całka potrójna ze stożkiem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: TS » 16 wrz 2007, o 12:16

i) /15

całka potrójna po V z \(\displaystyle{ x^2z dxdydz}\)
gdzie V jest stożkiem ograniczonym powierzchnią: \(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0}\)
//poprawione

i płaszczyzną \(\displaystyle{ z=c>0}\)

Prosiłbym o rozpisanie przedziałów we współrzędnych zwykłych, biegunowych, walcowych i sferycznych jesli to mozliwe.
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2007, o 13:50 przez TS, łącznie zmieniany 3 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: luka52 » 16 wrz 2007, o 12:28

Czy to równanie powierzchni ograniczającej stożek, na pewno ma tak wyglądać

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: TS » 16 wrz 2007, o 13:42

znów już poprawione równanie
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2007, o 13:51 przez TS, łącznie zmieniany 1 raz.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: luka52 » 16 wrz 2007, o 13:46

No ale to nie jest stożek ??:
Podane przez Ciebie równanie jest prawdziwe tylko wtedy gdy (x,y,z)=(0,0,0).

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: TS » 17 wrz 2007, o 12:50

Już teraz jest stożek

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: luka52 » 17 wrz 2007, o 15:16

No, teraz jest OK

IMHO najlepiej będzie przyjąć następujące przekształcenie:
\(\displaystyle{ f=(x,y,z)\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3}\), gdzie
\(\displaystyle{ x(\rho, \theta, t) = a \rho \cos \theta\\
y(\rho, \theta, t) = b \rho \sin \theta\\
z(\rho, \theta, t) = ct}\)

obliczamy jakobian przekształcenia:
\(\displaystyle{ J_f = \frac{D(x,y,z)}{D(\rho, \theta, t)} = \ldots = abc \rho}\)
Zakres zmian zmiennych, wynosi w tym przypadku (o ilę się nie mylę)
\(\displaystyle{ 0 q \rho q 1\\
0 q t q 1\\
0 q \theta q 2 \pi}\)

Następnie podstawiasz te dane do całki i gotowe.

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: TS » 17 wrz 2007, o 16:33

a tak bardzie jklasycznie - jesli chodzi o wpolrzedne.
bo nie wiem jak mialbym wymyslec te przekształcenia dla x,y i z

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: luka52 » 17 wrz 2007, o 17:52

No jeśli "klasycznie" to raczej nie uprościsz rachunków
Chodzi o to by pozbyć się tych \(\displaystyle{ a^2, b^2 \ i \ c^2}\), a to chyba nie jest aż takie trudne do wykombinowania?

Awatar użytkownika
TS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 31 lip 2007, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 10 razy

całka potrójna ze stożkiem

Post autor: TS » 17 wrz 2007, o 18:55


ODPOWIEDZ