Dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z 3

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
okmijn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 10:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zamość

Dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z 3

Post autor: okmijn » 15 wrz 2007, o 10:19

Jak udowodnić że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczbą niewymierną, proszę o pomoc bo dla mnie to czarna magia

Poprawiłem temat i zapis. Zapoznaj się z:
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
i staranniej dobieraj działy w których umieszczasz zadania.
max
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2007, o 12:21 przez okmijn, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z 3

Post autor: Lider_M » 15 wrz 2007, o 10:35

Jest wiele metod, mi się najbardziej chyba podoba ta:
Załóżmy wbrew temu co mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, wtedy oczywiście:
\(\displaystyle{ 3q^2=p^2}\), czyli musi zachodzić \(\displaystyle{ 3|p}\), podstawmy \(\displaystyle{ p=3p_1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ q^2=3p_1^2}\), więc musi zachodzić \(\displaystyle{ 3|q}\), podtawmy \(\displaystyle{ q=3q_1}\), wtedy:
\(\displaystyle{ 3q_1^2=p_1^2}\), czyli i \(\displaystyle{ 3|p_1}\)... itd... Możemy tak robić w nieskończoność, dostajemy wówczas dwa nieskończone, malejące ciągi \(\displaystyle{ \{q_n\},\{p_n\}}\) (gdyż zachodzi \(\displaystyle{ p>p_1>p_2>...}\)) liczb naturalnych, lecz jest to niemożliwe w liczbach naturalnych.
Z tego wszystkiego wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest niewymierna.
(skorzystałem tutaj z nieskończonego schodzenia Fermata)

No a jak Ci ten dowód jakoś nie pasuje, to zapewne na forum był już poruszany podobny temat wielokrotnie, wystarczy poszukać.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z 3

Post autor: max » 15 wrz 2007, o 12:23

Przy tym dowodzie założenie, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są względnie pierwsze jest zbędne.

okmijn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 10:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zamość

Dowód niewymierności pierwiastka kwadratowego z 3

Post autor: okmijn » 15 wrz 2007, o 14:00

Dziękuję ślicznie

ODPOWIEDZ