Matematyka.pl

Jak rozpisać wzór (wielomian) Taylora dla trzech zmiennych?

Mówisz o szeregu Taylora? Jeśli się nie walnąłem, to w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) powinno być tak:

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=f(a,b,c)+\left((x-a)\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\frac{\partial}{\partial y}+(z-c)\frac{\partial}{\partial z}\right)f(a,b,c)+\\+\frac{1}{2}\left((x-a)\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\frac{\partial}{\partial y}+(z-c)\frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}f(a,b,c)+\\+\frac{1}{6}\left((x-a)\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\frac{\partial}{\partial y}+(z-c)\frac{\partial}{\partial z}\right)^{3}f(a,b,c)+\\+\frac{1}{24}\left((x-a)\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\frac{\partial}{\partial y}+(z-c)\frac{\partial}{\partial z}\right)^{4}f(a,b,c)+\ldots=\\= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\left((x-a)\frac{\partial}{\partial x}+(y-b)\frac{\partial}{\partial y}+(z-c)\frac{\partial}{\partial z}\right)^{n}f(a,b,c)}{n!}\right)}\)

Ale zdaje sie ze stopnie potęg powinny rosnąc?

Ja do zapisania tego korzystałem z Wolframa:

a nie rosna? 2,3,4,...,n?

rosna potęgi nawiasów, ale potegi te same ( \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}}\) a nie \(\displaystyle{ d^{(n)}(x,y,z)}}\) )

No to jest zapis symboliczny, wraz ze wzrostem potęg będą też odpowiednio wzrastały stopnie pochodnych, niektóre będą mieszane.

dzieki, juz rozumiem