Matematyka.pl

Proszę o wyjaśnienie:
\(\displaystyle{ \log _{10} \frac{a}{b}= \frac{c}{d}
\begin{center}
10^{ \frac{c}{d}} = \frac{a}{b} | \cdot b \neq 0
\end{center}
\\
\begin{center}
10^{ \frac{c}{d}}b=a |^{d}
\end{center}
\begin{center}
10^{ c}b^{d}=a^{d}
\end{center}}\)
Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ b=1}\)?

Nie wiemy.

Podaj treść zadania to może się dowiemy.

Twierdzenie.
Dla każdej \(\displaystyle{ r\in \QQ_{+}}\) mamy \(\displaystyle{ \log _{10}r \in \mathbb{IQ}}\). Wyjątek dla \(\displaystyle{ r=10^{n} , n\in \ZZ}\).
Początek dowodu:
Jeżeli \(\displaystyle{ \log _{10}r \in \QQ \Rightarrow \log _{10}r^{-1} \in\QQ}\), a zatem możemy zapisać ,że \(\displaystyle{ r>1}\). Weżmy \(\displaystyle{ r= \frac{a}{b}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \ZZ_{+} , \left( a,b\right)=1}\) (wzgl.pierwsze:). Załóżmy, że \(\displaystyle{ \log _{10}r= \frac{c}{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ c,d \in \ZZ_{+} , \left( c,d\right)=1}\) (wzgl.pierwsze:). Wtedy podstawiając otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \log _{10} \frac{a}{b}= \frac{c}{d} \begin{center} 10^{ \frac{c}{d}} = \frac{a}{b} | \cdot b \neq 0 \end{center} \\ \begin{center} 10^{ \frac{c}{d}}b=a |^{d} \end{center} \begin{center} 10^{ c}b^{d}=a^{d} \end{center}}\)...
tłumacze to z książki angielskiej więc troche kali jeść kali pić:)

Takie komplikacje to nie dla mnie.

Skoro \(\displaystyle{ 2}\) dzieli lewa stronę to musi prawą. Popatrz z jakim wykładnikiem to robi...

No tak, dzieli,bo mamy 10.Czyli \(\displaystyle{ a^{d}}\) musi być liczbą parzystą ...jednak dalej mi to nic nie rozjaśnia...;/

Przecież pytanie było, z jakim wykładnikiem \(\displaystyle{ 2}\) dzieli \(\displaystyle{ a^d}\) (wskazówka: z takim samym, z jakim dzieli \(\displaystyle{ 10^cb^c}\)).

JK