Matematyka.pl

Czy dostrzegacie tu być może jakiś błąd:
Założenie - \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ p \ge 5}\)

Teza - \(\displaystyle{ 24|\left( p ^{2}-25 \right)}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ \left( p ^{2}-25 \right) = \left( p-1\right) \left( p+1\right) -24}\)
Jeśli \(\displaystyle{ p \ge 5}\) to wśród liczb \(\displaystyle{ \left( p-1\right) , p, \left( p+1\right)}\) jest liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\), czyli przez \(\displaystyle{ 12}\) oraz \(\displaystyle{ 24}\). Zatem
\(\displaystyle{ \left( p-1\right) \left( p+1\right) -24 = 24k -24=24(k-1), k \in \NN}\)

Co kończy dowód

Filip46 pisze:Jeśli \(\displaystyle{ p \ge 5}\) to wśród liczb \(\displaystyle{ \left( p-1\right) , p, \left( p+1\right)}\) jest liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\), czyli przez \(\displaystyle{ 12}\) oraz \(\displaystyle{ 24}\).

Ten argument nie wygląda dobrze. Czy mógłbyś go wyjaśnić?

JK

Wsk.: Zauważ, że \(\displaystyle{ p-1}\) i \(\displaystyle{ p+1}\) to kolejne liczby parzyste, więc \(\displaystyle{ 8|(p-1)(p+1)}\) (dlaczego?)

Jan Kraszewski pisze:Ten argument nie wygląda dobrze.

JK

Ten argument wygląda całkiem dobrze.

ponieważ są to trzy kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest podzielna przez 3
ponieważ p jest liczbą pierwszą, więc przez 3 musi się dzielić jedna z pozostałych dwóch liczb
te dwie liczby są kolejnymi liczbami parzystymi, więc jedna z nich musi się dzielić przez 4
więc łącznie \(\displaystyle{ 3\cdot2\cdot4=24|(p-1)(p+1)}\)

kinia7 pisze:Ten argument wygląda całkiem dobrze.

Ten argument jest do bani. Dobrze wygląda Twój argument, ale zauważ, że Filip46 napisał zgoła co innego. A ponieważ liczy się to, co zostało napisane, a nie to, co być może miał na myśli pisząc to, więc jego rozumowanie nie przechodzi.

JK

Filip46 pisze:Czy dostrzegacie tu być może jakiś błąd:
Założenie - \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą i \(\displaystyle{ p \ge 5}\)

Teza - \(\displaystyle{ 24|\left( p ^{2}-25 \right)}\)

właściwie można to uogólnić na różnicę kwadratów
dwóch liczb niepodzielnych przez 2 i 3

Przepraszam, mój błąd co do zapisu. Użytkownik kinia7 przedstawił co miałem na myśli.

kinia7 pisze:Są to trzy kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest podzielna przez 3
ponieważ p jest liczbą pierwszą, więc przez 3 musi się dzielić jedna z pozostałych dwóch liczb
te dwie liczby są kolejnymi liczbami parzystymi, więc jedna z nich musi się dzielić przez 4
więc łącznie \(\displaystyle{ 3\cdot2\cdot4=24|(p-1)(p+1)}\)