Matematyka.pl

oblicz granice funkcji:


\(\displaystyle{ 2]}\) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\cos{{1 \over x}})}\)

Jednostronne nie istnieją, tym bardziej i ta nie będzie istnieć.

ale jak mam to udowodnic ? to znaczy jak wytlumaczyc, ze taka granice nie istnieje?

Granica w punkcie istnieje, jeżeli istnieją i są sobie równe granice jednostronne. Oblicz, a raczej w tym przypadku - "spróbuj" obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}}\).

ja probowałam właśnie, ale jak przekształcic ten cosinus, żeby można było coś stwierdzić

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\cos\left(\frac{1}{x}\right)}\)

Gdy zbliżamy się do \(\displaystyle{ 0}\) od prawej strony, to ułamek \(\displaystyle{ \tfrac{1}{x}}\) "ucieka" do \(\displaystyle{ +\infty}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos{x}}\) nie posiada granicy przy \(\displaystyle{ x\to\infty}\), czyli powyższa granica nie istnieje.

Analogicznie jest dla \(\displaystyle{ x\to 0^{-}}\).

Wniosek: Nie istnieją granice jednostronne, stąd nie może istnieć wyjściowa granica.

aha, dziękuję :]

Ogólniej powinno być tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\stackrel{\frac{1}{x}=u}{=}\lim_{u\to\pm\infty}\cos{u }\to\mbox{nie istnieje}}\)

Przydałoby się jeszcze dodać \(\displaystyle{ \pm}\) przy zerze, żeby było wiadomo, że chodzi o granice jednostronne...