granica funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
luska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 6 gru 2006, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

granica funkcji

Post autor: luska » 11 wrz 2007, o 17:11

oblicz granice funkcji:


\(\displaystyle{ 2]}\) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\cos{{1 \over x}})}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

granica funkcji

Post autor: bolo » 11 wrz 2007, o 17:24

Jednostronne nie istnieją, tym bardziej i ta nie będzie istnieć.

luska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 6 gru 2006, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

granica funkcji

Post autor: luska » 11 wrz 2007, o 17:28

ale jak mam to udowodnic ? to znaczy jak wytlumaczyc, ze taka granice nie istnieje?

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

granica funkcji

Post autor: bolo » 11 wrz 2007, o 17:31

Granica w punkcie istnieje, jeżeli istnieją i są sobie równe granice jednostronne. Oblicz, a raczej w tym przypadku - "spróbuj" obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}}\).

luska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 6 gru 2006, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

granica funkcji

Post autor: luska » 11 wrz 2007, o 17:35

ja probowałam właśnie, ale jak przekształcic ten cosinus, żeby można było coś stwierdzić

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

granica funkcji

Post autor: bolo » 11 wrz 2007, o 17:43

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\cos\left(\frac{1}{x}\right)}\)

Gdy zbliżamy się do \(\displaystyle{ 0}\) od prawej strony, to ułamek \(\displaystyle{ \tfrac{1}{x}}\) "ucieka" do \(\displaystyle{ +\infty}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos{x}}\) nie posiada granicy przy \(\displaystyle{ x\to\infty}\), czyli powyższa granica nie istnieje.

Analogicznie jest dla \(\displaystyle{ x\to 0^{-}}\).

Wniosek: Nie istnieją granice jednostronne, stąd nie może istnieć wyjściowa granica.

luska
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 6 gru 2006, o 18:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

granica funkcji

Post autor: luska » 11 wrz 2007, o 17:48

aha, dziękuję :]

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica funkcji

Post autor: setch » 11 wrz 2007, o 20:27

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x} \stackrel{\frac{1}{x}=u}{=}\lim_{u \to } \cos u \to \mbox{nie istnieje}}\)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

granica funkcji

Post autor: bolo » 11 wrz 2007, o 20:31

Ogólniej powinno być tak:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\stackrel{\frac{1}{x}=u}{=}\lim_{u\to\pm\infty}\cos{u }\to\mbox{nie istnieje}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica funkcji

Post autor: max » 11 wrz 2007, o 20:58

Przydałoby się jeszcze dodać \(\displaystyle{ \pm}\) przy zerze, żeby było wiadomo, że chodzi o granice jednostronne...

ODPOWIEDZ