Twierdzenie sinusów - miary kątów
: 9 wrz 2007, o 14:49
Wysokość pewnego trójkąta i jego środkowa dzielą kąt na 3 równe części. Jakie są miary katów tego trójkąta?
\(\displaystyle{ 90^\circ,\; 60^\circ,\; 30^\circ}\)
(nie no, zaraz zamieszczę rozwiązanie )
Oznaczmy \(\displaystyle{ |BE|=x,\; |AE|=|EC|=y\Rightarrow |DE|=\frac{y}{2}}\)
Trójkąt BCD jest prostokątny, kąt B (w tym trójkącie) ma miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\), więc kąt C ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-2\alpha}\)
Z tw. sinusów \(\displaystyle{ \frac{x}{\sin (\frac{\pi}{2}-2\alpha)}=\frac{y}{\sin }}\)
A z kolei z trójkąta BDE: \(\displaystyle{ \frac{\frac{y}{2}}{x}=\sin\alpha\Rightarrow y=2x\sin\alpha}\).
Wstawiamy do 1 równania
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin (\frac{\pi}{2}-2\alpha)}=\frac{2x\sin\alpha}{\sin }\iff \frac{1}{\cos 2\alpha}=2}\)
Rozwiązując równanie tryg. znajdujemy kąty.