Matematyka.pl

Czy poniższa funkcja jest normą?

\(\displaystyle{ ||(x,y)|| = \sqrt{x^2 +4y^2} + |x|}\) \ \(\displaystyle{ x,y \in R}\)

rozumiem, żeby udowodnić, że nie jest normą wystarczy podać kontrprzykład, który niespełnia nierówności trójkąta, ale takie nie udało mi się znaleźć, więc starałem się nierówność trojkąta udowodnić (rozumiem, że sam dowód nierówności trójkąta jest warunkiem dostatecznym do bycia normą)

niech \(\displaystyle{ v = (a,b) \wedge w = (c,d)}\)
zatem \(\displaystyle{ ||v|| + ||w|| = \sqrt{a^2 +4b^2} + |a| + \sqrt{c^2 +4d^2} + |c| \ge \sqrt{a^2 +4b^2} + \sqrt{c^2 +4d^2} +|a+c| \ge (?) \sqrt{a^2 +4b^2 + c^2 +4d^2} +|a+c|}\)
no i na tym stanąłem. Jakieś podpowiedzi?

Czegoś tutaj nie rozumiem, masz \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\), więc czemu piszesz \(\displaystyle{ x = (a,b) \wedge y = (c,d)}\).
Normę określa się dla pewnego elementu przestrzeni wektorowej. W tym przypadku, skoro \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}\), to znaczy, że mamy jakiś wektor \(\displaystyle{ \mathbf{v} = (x,y)}\) i kandydata na normę: \(\displaystyle{ \| \mathbf{v} \| = \sqrt{x^2 +4y^2} + |x|}\) dla \(\displaystyle{ \mathbf{v} = (x,y)}\). Wtedy nierówność trójkąta byłaby taka (gdyby była spełniona):
\(\displaystyle{ \| \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2 \| \le \| \mathbf{v}_1 \| + \| \mathbf{v}_2 \|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x_1 + x_2)^2 +4(y_1 + y_2)^2} + |x+y| \le \sqrt{x_{1}^2 +4y_{1}^2} + |x_1| + \sqrt{x_{2}^2 +4y_{2}^2} + |x_2|}\).

zamieniłem w tamtym miejscu \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ y}\) na \(\displaystyle{ w}\), teraz to wygląda klarowniej. Wiem dokładnie co mam udowodnić, ale nie wiem jak udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{a^2 +4b^2} + \sqrt{c^2 +4d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2 + 4(b+d)^2}}\)

No to musisz poczekać na jakiegoś forumowego specjalistę od nierówności.

Jest to bezpośrednia konsekwencja nierówności Minkowskiego dla sum.



Masz tutaj \(\displaystyle{ n=p=2, s_1=a, s_2=2b, t_1=c, t_2=2d}\) według oznaczeń z tego artykułu.

-- 26 paź 2016, o 21:43 --

A jeśli nie znasz/nie chcesz używać tej nierówności, to możesz również podnieść nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2 +4b^2} + \sqrt{c^2 +4d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2 + 4(b+d)^2}}\)
stronami do kwadratu (jest to przekształcenie równoważne, gdyż obie strony są nieujemne),
zredukować co się da i zostanie Ci po podzieleniu stronami przez \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+(2b)^2} \sqrt{c^2+(2d)^2} \ge ac+4bd}\),
a to jest nierówność Cauchy'ego-Schwarza dla wektorów \(\displaystyle{ (a,2b)}\) i \(\displaystyle{ (c,2d)}\).

Nawet bez nierówności C-S da się to elementarnie udowodnić podnosząc w sumie dwa razy do kwadratu.

rzeczywiście, popełniłem błąd w rachunkach, po podniesieniu obustronnie do kwadratu dwa razy i redukowaniu wyrazów podobnych wyszło mi \(\displaystyle{ (ad - cb)^2 \ge 0}\) także dziękuję za pomoc i tak