Matematyka.pl

1. Niech \(\displaystyle{ u(x,y)= xy+ f(\frac{y}{x})}\) a \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją mającą ciągła pochodną. Udowodnić, że \(\displaystyle{ x \frac{\partial u}{\partial x } + y \frac{\partial u}{\partial y } = xy+u}\)
2. Rozwinąć w szereg Fouriera \(\displaystyle{ f(x)= \max (0, \sin(x))}\) i obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{4n^2-1}}\)
3. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{\sinh (n\pi)} = \frac{1}{8\pi}}\)
4. Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ |\sin(x)+ \cos(x)+ \tg(x)+ \ctg(x)+ \frac{1}{\sin(x)}+\frac{1}{\cos(x)} |}\)
5. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^n}} \ dx}\)
6. Wyznaczyć ekstrema lokalne \(\displaystyle{ f(x,y) = x^3y^2(1-x-y)}\)
7. Obliczyć objętość obszaru \(\displaystyle{ V = \{ (x, y, z) : y^2+ z^2 \leq x \leq y , \ z>0 \}}\)
8. Obliczyć długość łuku paraboli \(\displaystyle{ y = x^2}\) od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) do punktu \(\displaystyle{ (1, 1)}\)
9. Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} n \underbrace{\sin( \ldots (\sin(\frac{1}{n})))}_{n}}\)
10. Czy szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}}\) można podzielić na nieskończoną ilość szeregów
a) zbieżnych
b) rozbieżnych
? ? ?
11. Wyznaczyć potencjał pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{F}(x, y, z) = (y \cos(z), x \cos(z), -xy \sin(z))}\)
12. Rozwiązać równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 u}{\partial x \ \partial z} = 4xzy^5}\)
gdzie \(\displaystyle{ u}\) jest funkcją zmiennych \(\displaystyle{ x, y, z}\)
13. Obliczyć długość „pętelki”
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t^2 \\ y=t - \frac{t^3}{3}\end{cases}}\)
14. Zmienić kolejnośc całkowania w \(\displaystyle{ \int_{1}^{2} dx \int_{\frac{1}{x}}^{x} f(x,y) \ dy}\)
15. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+6x^2+13} \ dx = \frac{\pi}{8}}\)
16. Obliczyć \(\displaystyle{ \int \sqrt[3]{1+ \sqrt[4]{x}} \ dx}\)
17. Znaleźć współrzędne środka ciężkości jednorodnej czaszy kuli \(\displaystyle{ K((0,0,0), r)}\) i o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ 2\alpha < \pi}\)
18. Z twierdzenia Gaussa Ostrogradzkiego obliczyć całkę powierzchniową \(\displaystyle{ \int_{S} x^2+y^2+z^2 d \sigma}\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest częścią płaszczyzny \(\displaystyle{ z=x-y}\) wewnątrz walca \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
19. Wyznaczyć \(\displaystyle{ y=y(t)}\) jeśli \(\displaystyle{ t^2 (y y^{\prime \prime}- (y^{\prime})^2) + tyy^{\prime} = y\sqrt{t^2 (y^{\prime})^2 +y^2 }}\)
20. Parabola przecina koło jednostkowe. Czy długość łuku tej paraboli wewnątrz koła może być większa od 4 ?
21. Obliczyć całkę powierzchniową \(\displaystyle{ \int \int_{\Sigma} x^2y^2z \ dx dy}\) gdy \(\displaystyle{ \Sigma}\) jest górna półsferą \(\displaystyle{ z = \sqrt{1-x^2-y^2}}\) zorientowaną na zewnątrz
22. Wskazać przykłady granic gdy Reguła de Hospitala „zapetla sie” (gdy \(\displaystyle{ x \to 0}\) i gdy \(\displaystyle{ x \to +\infty}\))
23. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{1}^3 \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(3-x)}}}\)
24. Czy szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3 \cdot \sqrt[2]{3}} + \frac{1}{3 \cdot \sqrt[2]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} +...}\) jest zbieżny ?
25. (K-W) Obliczyć objętość bryły ograniczonej stożkiem \(\displaystyle{ 2(x^2+y^2) - z^2= 0}\) i hiperboloidą \(\displaystyle{ x^2+y^2-z^2 = -a^2}\)
26. Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(x)= \sin(x^2)}\) nie jest okresową
27. Sprawdzić twierdzenie Stokesa dla \(\displaystyle{ \vec{F}(x, y, z)=(x^2y^3, 1, z)}\) jeśli \(\displaystyle{ K}\) jest okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=1 , \ z=0}\) oraz \(\displaystyle{ S}\) jest częścią płaszczyzny \(\displaystyle{ z=0}\) rozpiętej na tym okręgu
28. Obliczyć pole powierzchni części sfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=9}\) wyciętej przez walec eliptyczny \(\displaystyle{ 4x^2+9y^2=36}\)
29. Oblicz pole części powierzchni torusa opisanej parametrycznie
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= (10+ 3\cos (v))\cos (u) \\ y= (10+ 3\cos (v))\sin (u) \\ z=\sin(v)\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u \in [0, \pi] , \ v \in [\pi, 2\pi]}\)
30. Rozwiązać układ równań różniczkowych
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=3x+8y \\ \frac{dy}{dt}= - 3y-x \end{cases}}\)
z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ x(0) = 6 , \ y(0)=-2}\)

Czy w 15 wszystko jest ok?

Moim zdaniem nie jest. Wujek wolfram ma podobną opinię:
... x%5E2%2B13)-- 5 lip 2016, o 17:15 --Ale ta moja opinia nie wzięła się znikąd, gdyż wczoraj to liczyłem przez jakąś godzinę i nie wychodziło.

No ja liczyłem to wczoraj i dziś. Poddałem się i zajrzałem do wolframika i się w sumie nie zdziwiłem

Niektóre z nich są tak łatwe, że nawet ja potrafię je zrobić, ale zainteresowało mnie zadanie 20, czy ktoś ma jakiś pomysł? Chętnie zobaczyłbym rozwiązanie. Założyłem \(\displaystyle{ a > 0}\) i udało mi się sprawdzić, że dla parabol postaci \(\displaystyle{ y(x) = ax^2 - 1}\) długość łuku to \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{16a^2 - 14a +3} + \sinh^{-1}{(2 \sqrt{2a - 1})}}{2a} = L(a)}\). Zgodnie z intuicją \(\displaystyle{ \lim_{a \to \infty} L(a) = 4}\), ale funkcja ta jest rosnąca, więc długość na pewno nie przekracza \(\displaystyle{ 4}\). Liczenia było sporo i wspierałem się wolframem, więc nie wstawiam rachunków. Namęczyłem się, ale to był najprostszy przypadek, bo była symetria i od razu wyraz wolny równy \(\displaystyle{ -1}\). W przypadku gdy wierzchołek będzie przesunięty już nie wiem jak to zrobić

Aha, dopiero po napisaniu tego ogarnąłem, że wierzchołek wcale nie musi być we wnętrzu tego okręgu, teraz to już zupełnie nie wiem czego się łapać. Pałkarze do boju!

9) -- 7 lip 2016, o 13:38 --10)

-- 8 lip 2016, o 10:16 --Jakieś obrzydliwie toporne to wyszło.

Czy w 15 wszystko jest ok?

a czemu nie ...>?!