Matematyka.pl

podzielność przez 11
\(\displaystyle{ x+6+0+4+9+1+7+6+4- (3+4+5+8+8+2+0+4+y) = x-y+3}\) jest podzielne przez 11
podzielność przez 9
\(\displaystyle{ 71+ x+y}\) jest podzielne przez 9

stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y = 8\\x+y = 10\end{cases}}\)
tj.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=9\\ y= 1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab}\) tj. \(\displaystyle{ x=14}\)

te dzielniki to \(\displaystyle{ 7, \ 43, \ 271 , \ 331}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x^2+x+34}\) jest podzielne przez 9 to \(\displaystyle{ x=9y+7}\) jednak \(\displaystyle{ x^2+x+34 = 9(9y^2+ 5(3y+2))}\) nie dzieli się przez 9, bo \(\displaystyle{ 3y+2}\) nie dzieli się przez 3

Przypomnijmy, że \(\displaystyle{ \NWW(a,b)\cdot \NWD(a,b)=ab}\) dla całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a,b.}\) Wobec tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{NWW(a_{0},a_{1})}+ \frac{1}{NWW(a_{1},a_{2})}+ \ldots + \frac{1}{NWW(a_{n-1},a_{n})} = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{\NWD(a_{i},a_{i+1})}{a_{i}a_{i+1}}}\)
Zauważmy, że skoro \(\displaystyle{ a_{i+1}>a_{i}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{\NWD(a_{k},a_{k+1})}{a_{k}a_{k+1}} \le \frac{1}{2a_{k}}}\). Uzasadnienie:
dla liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ x>y}\) mamy \(\displaystyle{ \NWD(x,y) \le \frac{x}{2}}\), ponieważ skoro \(\displaystyle{ x> y}\), to dla pewnego \(\displaystyle{ p}\) pierwszego mamy \(\displaystyle{ v_{p}(x)>v_{p}(y)}\) (uzasadnienie: rozpatrzmy wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_{i}}\), które występują w rozkładzie \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) na czynniki pierwsze; gdyby było dla każdego \(\displaystyle{ i}\) coś takiego: \(\displaystyle{ v_{p_{i}}(y)\ge v_{p_{i}}(x)}\), to \(\displaystyle{ y\ge x}\), sprzeczność), a wtedy \(\displaystyle{ \NWD(x,y) \le \frac{x}{p^{v_{p}(x)-v_{p}(y)}} \le \frac{x}{p} \le \frac{x}{2}}\);
równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ a_{k+1}=2a_{k}}\)

W połączeniu z trywialną indukcją po \(\displaystyle{ n}\) i zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego dostajemy, że tę sumę można z góry ograniczyć przez
\(\displaystyle{ \frac{1}{2a_{0}} \frac{\left( \frac{1}{2a_{0}} \right)^{n}-1 }{ \frac{1}{2a_{0}} -1}}\).
Oczywiście im większe jest \(\displaystyle{ a_{0}}\), tym mniejsze jest ograniczenie górne tej sumy (co dużo łatwiej widać z postaci przed zwinięciem), więc szacując to jeszcze raz z góry, kładziemy \(\displaystyle{ a_{0}=1}\) - najmniejsze, jakie możemy i koniec.

ale \(\displaystyle{ (x^3+1)(y+x^3) = 3^n \cdot 7^{2n}}\) jest możliwe np. gdy \(\displaystyle{ x=2}\) ....?

Ad.7.) Zauważmy \(\displaystyle{ 300^3 +1 = 2 700 001}\).
Uprzedzając fakty w tym zadaniu przydadzą się wzory skróconego mnożenia na:
- sumę sześcianów: \(\displaystyle{ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)}\)
- kwadrat sumy: \(\displaystyle{ (a+b)^2= a^2 + 2ab + b^2}\)
oraz wzór wyrażający związek między sumą, różnicą i iloczynem dwóch liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ ab = \left(\frac{a+b}{2} \right)^2 - \left(\frac{a-b}{2} \right)^2}\)

\(\displaystyle{ 27000001 = 300^3 + 1^3\\
= (300 + 1)(300^2 - 300 + 1)\\
= 301((300^2 + 2 \cdot 300 \cdot 1 + 1^2) - 900)\\
= 301((300 + 1)^2 - 900)\\
= 301(301^2 - 30^2)\\
= 301 \cdot (271 \cdot 331)\\
= 7 \cdot 43 \cdot 271 \cdot 331.}\)

Na zakończenie zadania dodajmy czynniki pierwsze by uzyskać odpowiedź: \(\displaystyle{ 7 + 43 + 271 + 331= 652}\)

szkic
Z tego układu wynika że
\(\displaystyle{ (x^3+y+1)^2+ z^9 =147^{157} + 157^{147} + 1 \equiv \ 14 \ (mod \ 19)}\)
który jest sprzeczny /co jest kwestią “technicznego” sprawdzenia/ wartości reszt tego wyrażenia

Najpierw rozwiązałem, potem zauważyłem, że moje rozwiązanie neguje rozwiązanie mola (powyższe rozwiązanie nie jest poprawne - wystarczy \(\displaystyle{ x=3y+1}\)), a potem zauważyłem błąd w swoim rozumowaniu. Poniżej jest już OK.

Podana kongruencja jest równoważna \(\displaystyle{ 4x^2 + 4x + 4 \cdot 34 \equiv 0 \pmod{81}}\), czyli \(\displaystyle{ (2x+1)^2 + 135 \equiv 0 \pmod{81}}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ 27|(2x+1)^2}\), więc \(\displaystyle{ 9|(2x+1)}\). To pociąga za sobą podzielność \(\displaystyle{ 81|(2x+1)^2}\), zatem \(\displaystyle{ (2x+1)^2 + 135 \equiv 135 \not\equiv 0 \pmod{81}}\).

Jestem ciekawy zadania 2 - sprawdziłem tylko w Wolframie sumę cyfr (1451, i tak musiałem wrzucać tę liczbę "kawałkami"), więc nie jest to podzielne przez 3. Wyczuwam matematyczny trolling we wrzuceniu tego zadania do zestawu, ale mogę się mylić. Elayne?

Jest to bardzo trudne zadanie. Należy podać jaki iloczyn trzech „liczb” kończy się na: \(\displaystyle{ 68 \ 803}\). Zauważmy, że jest to iloczyn liczb pierwszych \(\displaystyle{ 7 \cdot 9829}\).
Załóżmy, że mamy dwie liczby pierwsze, np. \(\displaystyle{ 3823}\) oraz \(\displaystyle{ 4649}\).
\(\displaystyle{ 3823 \cdot 4649 = 17 \ 773 \ 127}\) - jeśli tę liczbę „złamiemy” na środku \(\displaystyle{ [3,4]}\) otrzymamy liczbę pierwszą: \(\displaystyle{ 15 \ 293 \ 947}\).
\(\displaystyle{ 17 \ 773 \ 127 - 15 \ 293 \ 947 = 2 \ 479 \ 180}\)
Jednym z czynników liczby \(\displaystyle{ 2 \ 479 \ 180}\) jest para liczb \(\displaystyle{ 3820 \cdot 649}\).
W tym zadaniu należy ten proces odwrócić, wtedy otrzymamy iloczyn czterech liczb pierwszych który spełnia postawione kryteria, np: \(\displaystyle{ 3 \cdot 4201 \cdot 44579 \cdot 9619}\).

Ja się pogubiłem...

Czy to jest 5 różnych zadań w ramach zadania nr 2? :-D

Czy chodzi o 3, czy o 4 liczby pierwsze, których iloczyn/iloczyny podałeś?

Jest to szkic rozwiązania. Podałem jako przykład: \(\displaystyle{ 3 \cdot 4201 \cdot 44579 \cdot 9619}\)
więc są to iloczyny trzech liczb które kończą się takimi cyframi:
\(\displaystyle{ 12603, 44579, 09619}\);
\(\displaystyle{ 04201, 44579, 28857}\);

Zadanie można też rozwiązać przy pomocy lematu Hensela.

Z funkcji Carmichaela.

\(\displaystyle{ x^{6} + x^{3} + x^{3}y + y = 147^{157},\\
x^{3} + x^{3}y + y^{2} + y + z^{9} = 157^{147} \\

(x^3 + y + 1)^2 + z^9 = 147^{157} + 157^{147} + 1 \\
\\
9 = \frac{1}{2} 18 = \frac{1}{2} \lambda (19) = \frac{1}{2} \lambda (27) = \frac{1}{2} \lambda (54) \\ \\
z^9 \ \equiv \ 0, \ \pm 1 \ \ (mod \ 19) \\
147^{157} \ \equiv \ (-5)^{18 \cdot 8 + 13} \ \equiv \ -5^{13} \ \equiv \ 2 \ (mod \ 19) \\
157^{147} \ \equiv \ (5)^{18 \cdot 8 + 3} \ \equiv \ 5^3 \ \equiv \ 11 \ (mod \ 19) \\
\\
(x^3 + y + 1)^2 = 147^{157} + 157^{147} + 1 - z^9 \ \equiv \ 13, \ 14, \ 15 \ (mod \ 19) \\
\\
\left[ \frac{13}{19} \right] = -1; \ \left[ \frac{14}{19}\right] = -1; \ \left[ \frac{15}{19}\right] = -1}\)