Matematyka.pl

chcę rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ x^p \le k \cdot e^x}\)
k to stała liczba ze zbioru \(\displaystyle{ (0;1)}\)
p to stała liczba taka, że prawdziwa jest nierówność: \(\displaystyle{ p \ge 2}\).

nie wiem jak to rozwiązać.
jedyne do czego dochodzę to:
\(\displaystyle{ e^{p \cdot ln(x)} \le e^{ln(k)} \cdot e^x}\)
\(\displaystyle{ p \cdot ln(x) \le ln(k)+x}\)
dalej nie wiem jak, prosiłbym o pomoc

Skąd wziąłeś tę nierówność? Moim zdaniem bez funkcji W Lamberta nie da się tego rozwiązać, chyba że jest jakaś sztuczka z kosmosu. Bez tego można tylko podać pewne warunki wystarczające, by nierówność zachodziła, ale to nie jest rozwiązanie nierówności.

\(\displaystyle{ x=0}\) to spełni zawsze

Ogólnych rozwiązań elementarnie nie znajdziesz, możesz próbować dla konkretnych wartości najwyżej.

Premislav pisze:Skąd wziąłeś tę nierówność? Moim zdaniem bez funkcji W Lamberta nie da się tego rozwiązać, chyba że jest jakaś sztuczka z kosmosu. Bez tego można tylko podać pewne warunki wystarczające, by nierówność zachodziła, ale to nie jest rozwiązanie nierówności.

ogólnie zadanie to:
dowieść, że równanie ma conajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste
\(\displaystyle{ x^{10^6}+2=(1,000001)^{x}}\)
i ogólnie zadanie rozwiązałem, ale chciałem się zastanowić nad uogólnionym problemem tego równania:

\(\displaystyle{ x^{10^6}+2=(1+ \frac{1}{10^6} )^{x}}\)
\(\displaystyle{ x^{p}+2=(1+ \frac{1}{p} )^{x}}\)
\(\displaystyle{ (10 \cdot k)^{p}=(1+\frac{1}{p})^{10\cdot k}}\)

można zauważyć, że to
\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{p})^{10\cdot x}}\)
jest mocno większe od liczby e
czyli aby rozwiązać tą nierówność wystarczyło znaleźć x spełniającego taką nierówność(większego niż 0):
\(\displaystyle{ (x \cdot 10^7)^{10^6} \le e^x}\)
no i po podaniu x, który spełnia to równanie (chyba to \(\displaystyle{ p^4}\) było, no i tam z własnośći Darboux, kończyłem), chciałem rozwiązać uogólniony problem i tak doszedłem do tego co napisałem na początku, co nie zmienia faktu, że dalej bym się chciał dowiedzieć jak to rozwiązać (nie musi być to rozwiązanie elementarne, chętnie nauczę się czegoś nowego).

Czyli jeśli dobrze rozumiem poszukujesz rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^a+b=(1+\frac{1}{a})^x}\) dla \(\displaystyle{ a\ge 2}\) i \(\displaystyle{ b=2}\)? Niestety ja nie umiem tego rozwiązać, oprócz przypadku, w którym \(\displaystyle{ b=0}\), wtedy \(\displaystyle{ x=-\frac{a}{\ln\left( 1+\frac{1}{a}\right)}W\left( -\frac{\ln\left( 1+\frac{1}{a}\right)}{a}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ W(z)}\) to funkcja W Lamberta.

No i nareszcie wiemy o co chodzi: zadanie brzmi: dowieść, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste, a nie znajdź rozwiązanie równania.

To ogromna różnica. Do rozwiązania wszystkich tych zadań wystarczy własność Darboux funkcji ciągłej i policzenie np. wartości wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{\text{lewa strona}}{\text{prawa strona}}}\) w zerze i nieskończoności.

a4karo pisze:No i nareszcie wiemy o co chodzi: zadanie brzmi: dowieść, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste, a nie znajdź rozwiązanie równania.

To ogromna różnica. Do rozwiązania wszystkich tych zadań wystarczy własność Darboux funkcji ciągłej i policzenie np. wartości wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{\text{lewa strona}}{\text{prawa strona}}}\) w zerze i nieskończoności.

hmm napisałem, że zadanie rozwiązałem, ale chciałem rozwiązać problem, który postawiłem w pierwszym poście. W końcu nie jest to chyba forum na którym rozwiązuje sie tylko zadania ze studiów/szkół itp.