Matematyka.pl

Pierwsze co trzeba zrobić, to rozłożyć na ułamki proste.
Spróbuj sam rozłożyć, mi wyszło:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{x+1} + \frac{1}{3-x}}\)

następnie nie jestem pewien na 100%, ale wydaje mi się, że trzeba ułamki doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{1-(-x)}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{x}{3}}}\) i zrobić z nich szeregi zgodnie ze znanymi nam wzorami. Jednak wyjdą nam 2 szeregi i właśnie nie wiem co dalej z tym zrobić, aby połączyć w całość, jeśli wogóle ten sposób jest dobry.

Następnie można skorzystać z twierdzenia o granicy sumy ciągów zbieżnych i zrobić z dwóch szeregów jeden...

jak to bedzie wygladało w tym przypadku?

Mamy dwa szeregi potęgowe, obieramy \(\displaystyle{ x}\) należący do przedziału zbieżności każdego z nich, oznaczamy n-tą sumę częściową rozwinięcia \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - (-x)}}\) np przez \(\displaystyle{ A_{n}(x)}\) a n-tą sumę częściową rozwinięcia \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}}\) przez \(\displaystyle{ B_{n}(x)}\). Z definicji szeregu liczbowego, wartości rozwinięć tych funkcji przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) to nic innego jak \(\displaystyle{ \lim_{n\to }A_{n}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to }B_{n}(x)}\). A ponieważ założyliśmy, że \(\displaystyle{ x}\) należy do przedziałów zbieżności tych szeregów, to te granice istnieją i są skończone, zatem:
\(\displaystyle{ 2\cdot \lim_{n\to }A_{n}(x) + \frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to }B_{n}(x) = \lim_{n\to }\left(2\cdot A_{n}(x) + \frac{1}{3}\cdot B_{n}(x)\right)}\)
Przedstawiając ostatnią granicę jako szereg potęgowy względem potęg \(\displaystyle{ x}\) otrzymujemy szukane rozwinięcie:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty}\left(2(-x^{n}) + \frac{1}{3}\cdot \left(\frac{x}{3}\right)^{n}\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}\left(2(-1)^{n} + \frac{1}{3^{n + 1}}\right)x^{n}}\)