Rozwinąć w szereg maclaurina i podac promień zbieżności

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Rozwinąć w szereg maclaurina i podac promień zbieżności

Post autor: zielony789 » 29 sie 2007, o 19:28

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-7}{(x+1)(x-3)}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Rozwinąć w szereg maclaurina i podac promień zbieżności

Post autor: Novy » 31 sie 2007, o 13:02

Pierwsze co trzeba zrobić, to rozłożyć na ułamki proste.
Spróbuj sam rozłożyć, mi wyszło:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{x+1} + \frac{1}{3-x}}\)

następnie nie jestem pewien na 100%, ale wydaje mi się, że trzeba ułamki doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{1-(-x)}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{x}{3}}}\) i zrobić z nich szeregi zgodnie ze znanymi nam wzorami. Jednak wyjdą nam 2 szeregi i właśnie nie wiem co dalej z tym zrobić, aby połączyć w całość, jeśli wogóle ten sposób jest dobry.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Rozwinąć w szereg maclaurina i podac promień zbieżności

Post autor: max » 31 sie 2007, o 15:38

Następnie można skorzystać z twierdzenia o granicy sumy ciągów zbieżnych i zrobić z dwóch szeregów jeden...

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Rozwinąć w szereg maclaurina i podac promień zbieżności

Post autor: Novy » 31 sie 2007, o 17:06

jak to bedzie wygladało w tym przypadku?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Rozwinąć w szereg maclaurina i podac promień zbieżności

Post autor: max » 31 sie 2007, o 17:34

Mamy dwa szeregi potęgowe, obieramy \(\displaystyle{ x}\) należący do przedziału zbieżności każdego z nich, oznaczamy n-tą sumę częściową rozwinięcia \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - (-x)}}\) np przez \(\displaystyle{ A_{n}(x)}\) a n-tą sumę częściową rozwinięcia \(\displaystyle{ \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}}\) przez \(\displaystyle{ B_{n}(x)}\). Z definicji szeregu liczbowego, wartości rozwinięć tych funkcji przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\) to nic innego jak \(\displaystyle{ \lim_{n\to }A_{n}(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to }B_{n}(x)}\). A ponieważ założyliśmy, że \(\displaystyle{ x}\) należy do przedziałów zbieżności tych szeregów, to te granice istnieją i są skończone, zatem:
\(\displaystyle{ 2\cdot \lim_{n\to }A_{n}(x) + \frac{1}{3}\cdot\lim_{n\to }B_{n}(x) = \lim_{n\to }\left(2\cdot A_{n}(x) + \frac{1}{3}\cdot B_{n}(x)\right)}\)
Przedstawiając ostatnią granicę jako szereg potęgowy względem potęg \(\displaystyle{ x}\) otrzymujemy szukane rozwinięcie:
\(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty}\left(2(-x^{n}) + \frac{1}{3}\cdot ft(\frac{x}{3}\right)^{n}\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}\left(2(-1)^{n} + \frac{1}{3^{n + 1}}\right)x^{n}}\)

ODPOWIEDZ