Matematyka.pl

Ile wynosi granica takiej funkcji?

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }[xln(e+1/x)-x]}\)

Do nieskończoności dąży chyba \(\displaystyle{ x}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} [x\ln(e + \tfrac{1}{x}) - x] = \lim_{x\to +\infty} [x(\ln (e + \tfrac{1}{x}) - 1)] =\\
= \lim_{x\to +\infty} [x\ln (1 + \tfrac{1}{ex})] = \lim_{x\to +\infty}\ln (1 + \tfrac{1}{ex})^{x} = \frac{1}{e}}\)

A dlaczego jest:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}}\)
Z czego to wynika?

Nie wiem czy się gdziesik nie walnąłem ale wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) ??:
Wyciągnij x przed nawias i zamień to do postaci "jadalnej" (tzn. z nieoznaczoności typu \(\displaystyle{ [0\cdot\infty]}\) zrób \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) lub \(\displaystyle{ [\frac{\infty}{\infty}]}\) (najlepiej doprowadź do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e+\frac{1}{x})-1}{\frac{1}{x}}}\)), potem de l'Hospital i już

Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń?

Z tych przekształceń korzystamy:
\(\displaystyle{ 1=\ln{e}}\)
\(\displaystyle{ \log_{a}\frac{b}{c}=\log_a{b}-\log_a{c}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{1}{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to {0}} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1}\)

Wynik wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)

luka52 pisze:A dlaczego jest:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}}\)
Z czego to wynika?

\(\displaystyle{ \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}\cdot e \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}\cdot \ln (1 + \frac{1}{ex})^{ex}}\)

Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń?

yyy... tak?