Granica funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Granica funkcji

Post autor: hasacz » 28 sie 2007, o 19:30

Ile wynosi granica takiej funkcji?

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }[xln(e+1/x)-x]}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica funkcji

Post autor: max » 28 sie 2007, o 20:29

Do nieskończoności dąży chyba \(\displaystyle{ x}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} [x\ln(e + \tfrac{1}{x}) - x] = \lim_{x\to +\infty} [x(\ln (e + \tfrac{1}{x}) - 1)] =\\
= \lim_{x\to +\infty} [x\ln (1 + \tfrac{1}{ex})] = \lim_{x\to +\infty}\ln (1 + \tfrac{1}{ex})^{x} = \frac{1}{e}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granica funkcji

Post autor: luka52 » 28 sie 2007, o 20:36

A dlaczego jest:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}}\)
Z czego to wynika?

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Granica funkcji

Post autor: DEXiu » 28 sie 2007, o 20:37

Nie wiem czy się gdziesik nie walnąłem ale wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\) :???:
Wyciągnij x przed nawias i zamień to do postaci "jadalnej" (tzn. z nieoznaczoności typu \(\displaystyle{ [0\cdot\infty]}\) zrób \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) lub \(\displaystyle{ [\frac{\infty}{\infty}]}\) (najlepiej doprowadź do postaci \(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e+\frac{1}{x})-1}{\frac{1}{x}}}\)), potem de l'Hospital i już :wink:

Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń? :neutral:
Ostatnio zmieniony 28 sie 2007, o 20:53 przez DEXiu, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
dasmany
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 27 sie 2007, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świnoujście
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Granica funkcji

Post autor: dasmany » 28 sie 2007, o 20:47

Z tych przekształceń korzystamy:
\(\displaystyle{ 1=\ln{e}}\)
\(\displaystyle{ \log_{a}\frac{b}{c}=\log_a{b}-\log_a{c}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to } \frac{1}{x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to {0}} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1}\)

Wynik wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{1}{e}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica funkcji

Post autor: max » 28 sie 2007, o 21:07

luka52 pisze:A dlaczego jest:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}}\)
Z czego to wynika?
\(\displaystyle{ \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}\cdot e \ln (1 + \frac{1}{ex})^x = \frac{1}{e}\cdot \ln (1 + \frac{1}{ex})^{ex}}\)
Yyy... max jesteś pewny tych przekształceń?
yyy... tak?

ODPOWIEDZ