Matematyka.pl

a) oblicyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1}{n}[nx]}\)
b) wykazać, ze okres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\) wynosi 1
c) zbadac ograniczoność funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\) dla x należących do przedziału (0,1)
d)zbadac monotonicznosc funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\)
e) zbadać ciagłoć funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x[\frac{1}{x}],x 0\\1,x=0\end{cases}}\)

a) \(\displaystyle{ x-\frac{1}{n}=\frac{nx-1}{n} \leq \frac{[nx]}{n} \leq \frac{nx}{n}=x}\)
\(\displaystyle{ a-1 <[a] \leq a}\)

e) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}x\left[\frac{1}{x}\right] = 1 = f(0)}\), bo:
\(\displaystyle{ 1 = x\cdot\frac{1}{x} \geqslant x\left[\frac{1}{x}\right] \geqslant x\cdot\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 1 - x \to 1}\)
więc funkcja jest ciągła w zerze.

Jeśli \(\displaystyle{ a\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)}\)
to \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{a}\right] = 0}\)
oraz: \(\displaystyle{ \lim_{x\to a}x\left[\frac{1}{x}\right] = 0}\)
więc funkcja jest ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)}\):

Dla \(\displaystyle{ a\in \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(a) = a\cdot \left[\frac{1}{a}\right] = a\cdot n}\)
oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to a}x\left[\frac{1}{x}\right] = a\cdot n}\),
czyli funkcja jest ciągła w każdym z przedziałów postaci:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)}\)

Natomiast jeśli \(\displaystyle{ a = \frac{1}{n}}\) to:
\(\displaystyle{ f(a) = a\cdot \left[\frac{1}{a}\right] = a\cdot n}\)
ale:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a^{+}}x\left[\frac{1}{x}\right] = a\cdot (n - 1)}\) więc funkcja jest nieciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)

Ostatecznie funkcja jest ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{n} \ : \ n \mathbb{N}\right\}}\)

a pozostale podpunkty?

robin5hood napisał

a pozostale podpunkty?

ad b-d tu masz zwykla mantyse,
poczytaj o tym np w google etc