cecha liczby- zadania

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

cecha liczby- zadania

Post autor: robin5hood » 28 sie 2007, o 15:54

a) oblicyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{1}{n}[nx]}\)
b) wykazać, ze okres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\) wynosi 1
c) zbadac ograniczoność funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\) dla x należących do przedziału (0,1)
d)zbadac monotonicznosc funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-[x]}\)
e) zbadać ciagłoć funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x[\frac{1}{x}],x 0\\1,x=0\end{cases}}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6167
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

cecha liczby- zadania

Post autor: mol_ksiazkowy » 28 sie 2007, o 20:53

a) \(\displaystyle{ x-\frac{1}{n}=\frac{nx-1}{n} q \frac{[nx]}{n} q \frac{nx}{n}=x}\)
\(\displaystyle{ a-1 q a}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

cecha liczby- zadania

Post autor: max » 28 sie 2007, o 23:06

e) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}x\left[\frac{1}{x}\right] = 1 = f(0)}\), bo:
\(\displaystyle{ 1 = x\cdot\frac{1}{x} qslant x\left[\frac{1}{x}\right] qslant x\cdot\left(\frac{1}{x} - 1\right) = 1 - x \to 1}\)
więc funkcja jest ciągła w zerze.

Jeśli \(\displaystyle{ a\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)}\)
to \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{a}\right] = 0}\)
oraz: \(\displaystyle{ \lim_{x\to a}x\left[\frac{1}{x}\right] = 0}\)
więc funkcja jest ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)}\):

Dla \(\displaystyle{ a\in ft(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(a) = a\cdot ft[\frac{1}{a}\right] = a\cdot n}\)
oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to a}x\left[\frac{1}{x}\right] = a\cdot n}\),
czyli funkcja jest ciągła w każdym z przedziałów postaci:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)}\)

Natomiast jeśli \(\displaystyle{ a = \frac{1}{n}}\) to:
\(\displaystyle{ f(a) = a\cdot ft[\frac{1}{a}\right] = a\cdot n}\)
ale:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a^{+}}x\left[\frac{1}{x}\right] = a\cdot (n - 1)}\) więc funkcja jest nieciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)

Ostatecznie funkcja jest ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R} - ft\{\frac{1}{n} \ : \ n \mathbb{N}\right\}}\)

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

cecha liczby- zadania

Post autor: robin5hood » 30 sie 2007, o 13:53

a pozostale podpunkty?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6167
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2551 razy
Pomógł: 673 razy

cecha liczby- zadania

Post autor: mol_ksiazkowy » 30 sie 2007, o 19:08

robin5hood napisał
a pozostale podpunkty?
ad b-d tu masz zwykla mantyse,
poczytaj o tym np w google etc

ODPOWIEDZ