Matematyka.pl

mam problem z całkami jakby ktoś chciał mi pomóc to bardzo dziekuję polecenie jest takie oblicz całkę

a) \(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+2x+10} dx}\)
b) \(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+x-2} dx}\)
c) \(\displaystyle{ \int \frac{2}{x^2-2x+10} dx}\)
d)\(\displaystyle{ \int^{1}_{0}\frac{x}{\sqrt{1+2x^{2}}} dx}\)
e)\(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx}\)
f)\(\displaystyle{ \int^{1}_{0}\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}dx}\)
z góry dziekuje:):)

Poprawiłem zapis. Calasilyar

ad. a
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x+1)^{2}+9}dx=...}\)
Robimy podstawienie: x+1=t,otrzymujemy wówczas:
\(\displaystyle{ ...=\int \frac{t}{t^{2}+9}dt - t \frac{1}{t^{2}+9}dt=...}\)
------------------------------------------------
Pierwszą całkę można szybko obliczyc,dla ułatwienia mozna zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t^{2}+9=z}\) i otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ln|t^{2}+9|+C}\)

Druga całka:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{9} \frac{dt}{(\frac{t}{3})^{2}+1}dt=...}\)
robimy podstawienie \(\displaystyle{ \frac{t}{3}=z}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ ...=\int \frac{1}{3} \frac{dz}{z^{2}+1}= \frac{1}{3} arctag(\frac{t}{3})+C}\)
---------------------------------------------------
Wracając do wyjściowej całki i do podstawień otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x+1)^{2}+9}dx=\frac{1}{2}ln|(x+1)^{2}+9|-\frac{1}{3} arctag(\frac{x+1}{3})+C}\)

b.c można pokombinować analogicznie

[ Dodano: 27 Sierpnia 2007, 19:09 ]
ad. d
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\frac{1}{2}\cdot 2x dx}{\sqrt{1+2x^{2}}}=\frac{1}{2} \sqrt{1+2x^{2}}|_{0}^{1}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)}\)

f analogicznie

Trzecią całkę można podobnie (rozłożyć" tzn mianownik jako \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+9}\) potem podobnie jak w przypadku drugim.

e)
\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{2}}}\\
1-x^{2}=t^{2}\\
-2xdx=2tdt\\
xdx=-tdt\\
-\int \frac{tdt}{\sqrt{t^{2}}}=
-\int \frac{tdt}{t}=
-\int dt=-t+C=-\sqrt{1-x^{2}}+C}\)

POZDRO