Całki nieoznaczone

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
praptaszynka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 27 sie 2007, o 11:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wieluń

Całki nieoznaczone

Post autor: praptaszynka » 27 sie 2007, o 11:56

mam problem z całkami jakby ktoś chciał mi pomóc to bardzo dziekuję polecenie jest takie oblicz całkę

a) \(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+2x+10} dx}\)
b) \(\displaystyle{ \int \frac{x}{x^2+x-2} dx}\)
c) \(\displaystyle{ \int \frac{2}{x^2-2x+10} dx}\)
d)\(\displaystyle{ \int^{1}_{0}\frac{x}{\sqrt{1+2x^{2}}} dx}\)
e)\(\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx}\)
f)\(\displaystyle{ \int^{1}_{0}\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}dx}\)
z góry dziekuje:):)

Poprawiłem zapis. Calasilyar
Ostatnio zmieniony 28 sie 2007, o 23:41 przez praptaszynka, łącznie zmieniany 3 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Całki nieoznaczone

Post autor: Kasiula@ » 27 sie 2007, o 19:02

ad. a
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x+1)^{2}+9}dx=...}\)
Robimy podstawienie: x+1=t,otrzymujemy wówczas:
\(\displaystyle{ ...=\int \frac{t}{t^{2}+9}dt - t \frac{1}{t^{2}+9}dt=...}\)
------------------------------------------------
Pierwszą całkę można szybko obliczyc,dla ułatwienia mozna zrobić podstawienie \(\displaystyle{ t^{2}+9=z}\) i otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ln|t^{2}+9|+C}\)

Druga całka:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{9} \frac{dt}{(\frac{t}{3})^{2}+1}dt=...}\)
robimy podstawienie \(\displaystyle{ \frac{t}{3}=z}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ ...=\int \frac{1}{3} \frac{dz}{z^{2}+1}= \frac{1}{3} arctag(\frac{t}{3})+C}\)
---------------------------------------------------
Wracając do wyjściowej całki i do podstawień otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{(x+1)^{2}+9}dx=\frac{1}{2}ln|(x+1)^{2}+9|-\frac{1}{3} arctag(\frac{x+1}{3})+C}\)

b.c można pokombinować analogicznie

[ Dodano: 27 Sierpnia 2007, 19:09 ]
ad. d
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\frac{1}{2}\cdot 2x dx}{\sqrt{1+2x^{2}}}=\frac{1}{2} \sqrt{1+2x^{2}}|_{0}^{1}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)}\)

f analogicznie

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

Całki nieoznaczone

Post autor: Lady Tilly » 27 sie 2007, o 19:19

Trzecią całkę można podobnie (rozłożyć" tzn mianownik jako \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+9}\) potem podobnie jak w przypadku drugim.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Całki nieoznaczone

Post autor: soku11 » 27 sie 2007, o 21:54

e)
\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{2}}}\\
1-x^{2}=t^{2}\\
-2xdx=2tdt\\
xdx=-tdt\\
-\int \frac{tdt}{\sqrt{t^{2}}}=
-\int \frac{tdt}{t}=
-\int dt=-t+C=-\sqrt{1-x^{2}}+C}\)


POZDRO

ODPOWIEDZ