Matematyka.pl

Jak każdego lata Trurl przybył z odwiedzinami do Klapaucjusza na jego letnią działkę. Działka była w kształcie kwadratu o boku równym jednej klorście. Trurl bardzo się zdziwił zobaczywszy przyjaciela przemierzającego działkę z łopatą pod pachą.
- Witaj przyjacielu! Gdzie zmierzasz z tą łopatą? - zapytał się Trurl.
- Witaj! Właśnie dowiedziałem się, że zimą szpiedzy króla Barberiusza
położyli gdzieś pod ziemią kabel mający służyć jako linia podsłuchowa.
Wiadomo, że kabel biegnie w linii prostej i gdzieś przecina moją działkę -
odparł smutny Klapaucjusz. - Teraz będę musiał przekopać wszystkie cztery graniczne boki mej działki, by go znaleźć i wykopać.
- Oj, nie będziesz musiał przekopać aż czterech boków! - odparł Trurl.
- No tak! Masz rację, przyjacielu. Wystarczy przecież przekopać trzy boki. - przyznał Klapaucjusz.
- Mój drogi Klapaucjuszu, możesz przekopać mniej niż trzy boki, czyli trzy klorsty. Zaraz ci to wszystko naszkicuję i objaśnię.
I Trurl zabrał się za objaśnianie Klapacjuszowi jak kopać, by łączna długość wykopu była jak najkrótsza.
A Twoim zdaniem jaka jest najkrótsza łączna długość wykopu, jaki musi zrobić Klapaucjusz, by mieć pewność znalezienia kabla?

\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) czegośtam ?!

Poproszę o rysunek.

Dowolna przekątna. ( o ile znalezienie kabla oznacza znalezienie jednego punktu tego kabla).
wydaje mi się to bardzo proste, wiec pewnie jest źle.

Bardzo źle: kabel może biec centymetr od przekątnej (równolegle do niej).

To dwie przekątne. akurat wychodzi mniej niż 3

-- 22 lut 2016, o 21:30 --

Albo lepiej można. Dwie wysokości opuszczone na boki prostopadłe.

-- 22 lut 2016, o 21:31 --

Lub dowolne dwa boki o wspólnym wierzchołku

Można nieco krócej niż \(\displaystyle{ 2 \sqrt 2}\).

no można. 2

IMHO \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\). Trzeba przekopać wierzchołki, a skoro tak, to później problem staje się analogiczny do znanego problemu najkrótszej sumy odległości od wierzchołków w czworokącie.

2 przeciwległe boki, obojętnie które.

Nie można 2 na pewno, według mnie będzie to \(\displaystyle{ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} }}\), bo dwa boki + pół przekątnej

rzeczywiście, bez sensu, przecież przewód może biec równolegle do tych dwóch boków Dwa boki plus pół przekątnej już jest ok, pytanie czy można jeszcze krócej?

Tak, można zejść poniżej \(\displaystyle{ 2.7}\).

Fakt \(\displaystyle{ \sqrt{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), ale czy można dowieść, że to rozwiązanie jest optymalne?

A czy mogłabyś pokazać swoje rozwiązanie? Dotychczas znałam jedynie wariant, gdzie trzeba było przekopać

\(\displaystyle{ \frac{3+2 \sqrt 5}{2 \sqrt 2}}\).