Matematyka.pl

Wykazać że \(\displaystyle{ A \subseteq B \Leftrightarrow P(A) \subseteq P(B)}\)

Wydaje mi się że to nie jest trudne zadanie, ale nie mam pojęcia jak to zapisać i udowodnić.

To naprawdę proste. Pokazywałem już na Forum.

Wskazówka (w jedną ze ze stron). Niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ \{x\}\in P(A)}\). Co z tego wynika?

Pokaż swoje przemyślenia w kwestii całego zadania.

Jak już to zrobisz, wywnioskuj stąd, że \(\displaystyle{ A=B\iff P(A)=P(B)}\).

szw1710 pisze:To naprawdę proste.

Gdy wiesz, o co chodzi. Normalnie to jest dość trudne zadanie, bo masz w nim równocześnie elementy, zbiory i zbiory zbiorów i jeśli nie rozumiesz dobrze różnicy pomiędzy należeniem a zawieraniem, to zazwyczaj masz kłopoty.

JK

Ewentualnie coś dość uniwersalnego \(\displaystyle{ C \in P(A) \Leftrightarrow C \subseteq A}\)

Jan Kraszewski, może to rzeczywiście rutyna... Ale mam nadzieję, że wskazówką pomogłem pytającej.

Kartezjusz pisze:Ewentualnie coś dość uniwersalnego \(\displaystyle{ C \in P(A) \Leftrightarrow C \subseteq A}\)

To dowód "z kapelusza". Jak go znasz, to znasz, a jak nie, to mała szansa, że wpadniesz.

JK

edit: OK, może nadinterpretowałem ten post. Ale w takim razie nie widzę celowości jego napisania.

Dlaczego tak sądzisz?. W obu pojęciach \(\displaystyle{ C}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ A}\).

Bardziej postrzegam to jako definicję zbioru potęgowego.

Kartezjusz, to, co napisałeś, można traktować albo jako niezobowiązujące przypomnienie definicji (ale po co wtedy ten post?) albo jako wskazówkę do dowodu jednej z implikacji. Ja odnoszę się do tej drugiej możliwości.

JK

A nie obu? Definicja jest obustronna.

A co to jest definicja jednostronna?

W tym sensie, że ta definicja pomoże przejść przez obie strony implikacji

To jest dość trywialne stwierdzenie, bo bez tej definicji na pewno tego dowodu w żadną stronę nie zrobisz.

JK

Dziękuje za odpowiedzi Chyba pomogło
Czy to ma być tak?
Jeżeli wiem że \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B)}\)
weźmy \(\displaystyle{ x \in A \Rightarrow \left\{ x\right\} \in P(A) \Rightarrow}\) (z definicji zawierania) \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \in P(B) \Rightarrow x \in B}\)
Zatem \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
A teraz w drugą stronę, jeżeli wiem, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
\(\displaystyle{ X \in P(A) \Leftrightarrow X \subseteq A \Rightarrow X \subseteq B \Leftrightarrow X \in P(B)}\)
Zatem \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B)}\)
Czy to jest dobrze przeprowadzone rozumowanie?

Dobrze, ale

hejka4 pisze:A teraz w drugą stronę, jeżeli wiem, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
\(\displaystyle{ X \in P(A) \Leftrightarrow X \red\subseteq\black A \Rightarrow X \subseteq B \Leftrightarrow X \in P(B)}\)
Zatem \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B)}\)

wskazane na czerwono zawieranie wypadałoby uzasadnić. Poza tym jak zwykle wołałbym więcej słów, a mniej znaczków, ale to już taka moja przypadłość.

JK