Pierwiastki n stopnia z wielomianu stopnia k
: 21 sie 2007, o 18:26
Witajcie mam pytanie do pierwiastka n stopnia jezeli liczba zespolona jest podniesiona do k-tej potegi:
Dla przykładu \(\displaystyle{ z=(1+i)^{20}}\) i policzyc z tego pierwiastek 3-stopnia
Czy aby to policzyc nalezy skorzystac z wzoru Movier'a sprowadzając to do postaci trygonometrycznej a pozniej kozystajac z wzoru na pierwiastki n tego stopnia?
Czy też moze jest jakis inny sposob na to?
Zamieszczam tutaj jak ja to rozwiazalem jesli jest tam blad to wskazcie w ktorym miejscu albo wrzuccie swoje rozwiazanie.
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{20}(\cos20\frac{\pi}{4}+isin20\frac{\pi}{4}={2}^{10}(\cos5\pi+isin5\pi)=2^{10}(\cos\pi+isin\pi)}\)
I teraz pierwiastek 3-stopnia:
\(\displaystyle{ z_{0}=...}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=...}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt[3]{2^{10}}(\cos\frac{\pi+2*2\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2*2\pi}{3})}\)
Dla przykładu \(\displaystyle{ z=(1+i)^{20}}\) i policzyc z tego pierwiastek 3-stopnia
Czy aby to policzyc nalezy skorzystac z wzoru Movier'a sprowadzając to do postaci trygonometrycznej a pozniej kozystajac z wzoru na pierwiastki n tego stopnia?
Czy też moze jest jakis inny sposob na to?
Zamieszczam tutaj jak ja to rozwiazalem jesli jest tam blad to wskazcie w ktorym miejscu albo wrzuccie swoje rozwiazanie.
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\varphi=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^{20}(\cos20\frac{\pi}{4}+isin20\frac{\pi}{4}={2}^{10}(\cos5\pi+isin5\pi)=2^{10}(\cos\pi+isin\pi)}\)
I teraz pierwiastek 3-stopnia:
\(\displaystyle{ z_{0}=...}\)
\(\displaystyle{ z_{1}=...}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt[3]{2^{10}}(\cos\frac{\pi+2*2\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2*2\pi}{3})}\)