Matematyka.pl

Wyznacz kresy dolny i górny jakie osiaga wyrazenie w, bedace funkcja trzech zmiennych a, b i c przy założeniu dodoatkowym iz ich suma wynosi jeden, tj znajdz stałe m - mozliwie najwieksza jak i M najmniejsza , tak aby zachodziło:

\(\displaystyle{ m \leq \sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} \leq M}\)
a+b+c=1

\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1}=\sqrt{1(2a+1)}+\sqrt{1(2b+1)}+\sqrt{1(2c+1)} \\ \mathbb{D}: a,b,c \in \langle -\frac{1}{2};2\rangle}\)

Korzystam z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{1(2a+1)} \leq \frac{1+2a+1}{2} \\ \sqrt{1(2b+1)} \leq \frac{1+2b+1}{2} \\ \sqrt{1(2c+1)} \leq \frac{1+2c+1}{2}\end{cases} \\
\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} \leq \frac{2a+2b+2c+6}{2}=a+b+c+3=1+3=4}\)

Równość zachodziłaby wtedy, gdy 2a+1=2b+1=2c+1=1, czyli a=b=c=0, ale to jest sprzeczne z założeniem. Czyli lewa strona największą wartość przyjmuje, gdy a=b=c, wtedy:
\(\displaystyle{ M=3\sqrt{2 \frac{1}{3}+1}=3 \sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{15}}\)



Wiemy również, że dla dowolnych k,m nieujemnych, przy czym m nie jest większe niż k:
\(\displaystyle{ \sqrt{k-m}+\sqrt{k+m} < \sqrt{k}+\sqrt{k} \\ L=\sqrt{k-m+2\sqrt{k^2-m^2}+k+m}=\sqrt{2k+2\sqrt{k^2-m^2}} < \sqrt{2k+2\sqrt{k^2}}=\sqrt{2k+2k}=\sqrt{4k}=2\sqrt{k}=P}\)

Przy czym największa różnica pomiędzy L i P jest, gdy m=k. Stosując to do naszej nierówności (przyjmujemy dla ogólności, że a=b, ponieważ dla a=c lub b=c wyszłoby to samo):

\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}=\sqrt{2b+1}=0 \Rightarrow a=b=-\frac{1}{2} \\ -1+c=1 \Rightarrow c=2 \\ m=\sqrt{2 \cdot 2 + 1}=\sqrt{5}}\)

Odp: \(\displaystyle{ m=\sqrt{5} \wedge M=\sqrt{15}}\)

Wzięło mnie na wspomnienia, bo kojarzyłem tę nierówność jako pierwsze zadanie, które rozwiązałem te ponad 17 lat temu w dziale "Kółko matematyczne".

Jakże byłem zdziwiony, że moje ówczesne rozwiązanie okazało się kompletnym blefem, którego dodatkowo nikt nie wykrył

Spróbujmy raz jeszcze.

Podstawmy \(\displaystyle{ x=2a+1}\), \(\displaystyle{ y=2b+1}\) oraz \(\displaystyle{ z=2c+1}\), gdzie \(\displaystyle{ x, y, z}\) są nieujemne. Ponadto z założeń mamy \(\displaystyle{ x+y+z=5}\).

1) Kwestia \(\displaystyle{ m}\).

Dla nieujemnych \(\displaystyle{ s, t}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{s}+\sqrt{t} \ge \sqrt{s+t}}\), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy któraś ze zmiennych \(\displaystyle{ s, t}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\) (wystarczy równoważnie podnieść do kwadratu).

Stąd, u nas: \(\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \ge \sqrt{x+y}+\sqrt{z} \ge \sqrt{x+y+z} = \sqrt{5}}\). Łatwo też stwierdzić z powyższych rozważań, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dwie z trzech zmiennych \(\displaystyle{ x, y, z}\) są równe 0, co się przekłada na (bez straty ogólności) \(\displaystyle{ a=b=-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ c=2}\). To nam jednoznacznie wyznacza \(\displaystyle{ m=\sqrt{5}}\).

2) Kwestia \(\displaystyle{ M}\).

Z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową dla nieujemnych argumentów \(\displaystyle{ \sqrt{x}, \sqrt{y}, \sqrt{z}}\) dostajemy szybko, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \le \sqrt{3} \sqrt{\sqrt{x}^2 + \sqrt{y}^2 + \sqrt{z}^2} = \sqrt{3} \sqrt{x+y+z} = \sqrt{15}}\). Dodatkowo, równość w tej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=y=z}\), co się przekłada na \(\displaystyle{ a=b=c=\frac{1}{3}}\). Otrzymujemy zatem \(\displaystyle{ M=\sqrt{15}}\).

No, tym razem jest poprawnie