[Nierówności] szacowanie wyrazenia

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7101
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2626 razy
Pomógł: 687 razy

[Nierówności] szacowanie wyrazenia

Post autor: mol_ksiazkowy » 19 sie 2007, o 16:50

Wyznacz kresy dolny i górny jakie osiaga wyrazenie w, bedace funkcja trzech zmiennych a, b i c przy założeniu dodoatkowym iz ich suma wynosi jeden, tj znajdz stałe m - mozliwie najwieksza jak i M najmniejsza , tak aby zachodziło:

\(\displaystyle{ m q \sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} q M}\)
a+b+c=1
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Nierówności] szacowanie wyrazenia

Post autor: Sylwek » 21 sie 2007, o 16:57

\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1}=\sqrt{1(2a+1)}+\sqrt{1(2b+1)}+\sqrt{1(2c+1)} \\ \mathbb{D}: a,b,c \langle -\frac{1}{2};2\rangle}\)

Korzystam z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sqrt{1(2a+1)} q \frac{1+2a+1}{2} \\ \sqrt{1(2b+1)} q \frac{1+2b+1}{2} \\ \sqrt{1(2c+1)} q \frac{1+2c+1}{2}\end{cases} \\
\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1} q \frac{2a+2b+2c+6}{2}=a+b+c+3=1+3=4}\)


Równość zachodziłaby wtedy, gdy 2a+1=2b+1=2c+1=1, czyli a=b=c=0, ale to jest sprzeczne z założeniem. Czyli lewa strona największą wartość przyjmuje, gdy a=b=c, wtedy:
\(\displaystyle{ M=3\sqrt{2 \frac{1}{3}+1}=3 \sqrt{\frac{5}{3}}=\sqrt{15}}\)



Wiemy również, że dla dowolnych k,m nieujemnych, przy czym m nie jest większe niż k:
\(\displaystyle{ \sqrt{k-m}+\sqrt{k+m} < \sqrt{k}+\sqrt{k} \\ L=\sqrt{k-m+2\sqrt{k^2-m^2}+k+m}=\sqrt{2k+2\sqrt{k^2-m^2}} < \sqrt{2k+2\sqrt{k^2}}=\sqrt{2k+2k}=\sqrt{4k}=2\sqrt{k}=P}\)

Przy czym największa różnica pomiędzy L i P jest, gdy m=k. Stosując to do naszej nierówności (przyjmujemy dla ogólności, że a=b, ponieważ dla a=c lub b=c wyszłoby to samo):

\(\displaystyle{ \sqrt{2a+1}=\sqrt{2b+1}=0 a=b=-\frac{1}{2} \\ -1+c=1 c=2 \\ m=\sqrt{2 2 + 1}=\sqrt{5}}\)

Odp: \(\displaystyle{ m=\sqrt{5} M=\sqrt{15}}\)

ODPOWIEDZ