Matematyka.pl

Szanowni,
proszę udowodnienie, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a _{1}, a _{2}, ... ,a _{n}}\) istnieją takie \(\displaystyle{ x _{1}, x _{2}, ... ,x _{n}}\),
że \(\displaystyle{ a _{1}x _{1} + a _{2}x _{2}, ... + a _{n}x _{n} = NWD(a _{1}, a _{2}, ... ,a _{n})}\)

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam,
Sonnen

Z tego co pamiętam, dowód jest w wstępie do teorii liczb Sierpińskiego.

strona 49.
stwierdzenie 10.13
Bardziej elegancko i zwiezle sie chyba nie da.

Szanowni,
moderator chyba usunął posty dotyczące zadania i niewykorzystujące pojęcia ideałów.
Czy mogę prosić o przedstawienie rozumowania niewykorzystującego tego pojęcia.

Indukcyjnie po \(\displaystyle{ n}\). Pierwszy krok dla \(\displaystyle{ n=2}\). Nietrudny i szeroko dostępny w Internecie. Polecam poszukać. Dalej już prosta indukcja i wystarczy skorzystać z własności: \(\displaystyle{ NWD\left(NWD\left(a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}\right), a_{n+1}\right)= NWD\left(a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}, a_{n+1}\right)}\)