Mierzalność sumy dwóch zbiorów mierzalnych w. Caratheodorego
: 18 sty 2016, o 19:10
Czy mógłby mi ktoś pomóc udowodnić mierzalność sumy dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A \cup B}\), zakładając, że \(\displaystyle{ A}\) mierzalne i \(\displaystyle{ B}\) mierzalne (z warunku Caratheodorego).
Skoro \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest mierzalne to \(\displaystyle{ \exists E \subset X : \mu^{*}(E)=\mu^{*}(E \cap A)+\mu^{*}(E \cap A')}\)
oraz \(\displaystyle{ \exists E \subset X : \mu^{*}(E)=\mu^{*}(E \cap B)+\mu^{*}(E \cap B')}\)
jak zatem wykazać, że \(\displaystyle{ \exists E \subset X : \mu^{*}(E)=\mu^{*}(E \cap(A \cup B))+\mu^{*}(E \cap (A \cup B)')}\)?
Skoro \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest mierzalne to \(\displaystyle{ \exists E \subset X : \mu^{*}(E)=\mu^{*}(E \cap A)+\mu^{*}(E \cap A')}\)
oraz \(\displaystyle{ \exists E \subset X : \mu^{*}(E)=\mu^{*}(E \cap B)+\mu^{*}(E \cap B')}\)
jak zatem wykazać, że \(\displaystyle{ \exists E \subset X : \mu^{*}(E)=\mu^{*}(E \cap(A \cup B))+\mu^{*}(E \cap (A \cup B)')}\)?