Matematyka.pl

Jak obliczyć te granice?
1) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \left( {\tan x} \right)^{\tan x}}\)
2) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {a + x} - \sqrt {2a} }}{{\sqrt {a + 2x} - \sqrt {3a} }}}\) gdzie \(\displaystyle{ a > 0}\)

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{a+x-2a}{(\sqrt{a+2x}-\sqrt{3a})(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =
\lim_{x \to a} \frac{x-a}{(\sqrt{a+2x}-\sqrt{3a})(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =\\=
\lim_{x \to a} \frac{(x-a)(\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a})}{(a+2x-3a)(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =
\lim_{x \to a} \frac{(x-a)(\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a})}{2(x-a)(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =\\=
\lim_{x \to a} \frac{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}{2(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})}= \ldots = \frac{\sqrt{6}}{4}}\)

1)
\(\displaystyle{ \lim(e^{\tan{x}\ln\tan{x}})\\
\lim \tan{x}\ln\tan{x}=\lim \frac{\tan{x}}{x}x\ln\tan{x}=\lim x*1=0}\)
czyli wracajac mamy
\(\displaystyle{ \lim e^{x}=1}\)

setch, można nieco szybciej:
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to a} \left( \frac{a + x - 2a}{a + 2x - 3a} \frac{\sqrt{a + 2x} + \sqrt{3a}}{\sqrt{a + x} + \sqrt{2a}} \right) = \lim_{x \to a} \frac{(x - a) \left( \sqrt{a + 2x} + \sqrt{3a} \right)}{2(x-a) \left( \sqrt{a + x} + \sqrt{2a} \right)} =\\= \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3a} + \sqrt{3a}}{\sqrt{2a}+ \sqrt{2a}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}}\)

greey10 pisze:1)
\(\displaystyle{ \lim(e^{\tan{x}\ln\tan{x}})\\
\lim \tan{x}\ln\tan{x}=\lim \frac{\tan{x}}{x}x\ln\tan{x}=\lim x*1=0}\)

Wynik poprawny, ale przekształcenia niejasne..
Można np skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}x\ln x = 0}\)
i dlatego:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} \tan{x}\ln{\tan{x}} = 0}\)

A zamiast 'wracając' ładniej byłoby napisać - 'korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej'.

znacze moze zapis jest troche brzydki przyznaje moj tex daleko odbiega od doskonalosci jednak przeksztalcenie jest ok przecierz
\(\displaystyle{ \lim \ln{\tan{x}}=1}\)

greey10 pisze:\(\displaystyle{ \lim \ln{\tan{x}}=1}\)

Jesteś pewien?

a nie masz racje bedzie rozbiezne do minus nieskonczonosci, zdecydowanie trzeba skorzystac z twojej metody \(\displaystyle{ x\ln{x}}\)