Granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
misiek008
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 18 lip 2007, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 5 razy

Granice

Post autor: misiek008 » 15 sie 2007, o 09:18

Jak obliczyć te granice?
1) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \left( {\tan x} \right)^{\tan x}}\)
2) \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {a + x} - \sqrt {2a} }}{{\sqrt {a + 2x} - \sqrt {3a} }}}\) gdzie \(\displaystyle{ a > 0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Granice

Post autor: setch » 15 sie 2007, o 11:06

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to a} \frac{a+x-2a}{(\sqrt{a+2x}-\sqrt{3a})(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =
\lim_{x \to a} \frac{x-a}{(\sqrt{a+2x}-\sqrt{3a})(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =
\lim_{x \to a} \frac{(x-a)(\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a})}{(a+2x-3a)(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =
\lim_{x \to a} \frac{(x-a)(\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a})}{2(x-a)(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})} =
\lim_{x \to a} \frac{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}{2(\sqrt{a+x}+\sqrt{2a})}= \ldots = \frac{\sqrt{6}}{4}}\)

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Granice

Post autor: greey10 » 15 sie 2007, o 14:37

1)
\(\displaystyle{ \lim{(e^{\tan{x}\ln{\tan{x}}})}\\
\lim \tan{x}\ln{\tan{x}}=\lim \frac{\tan{x}}{x}x\ln{\tan{x}=\lim x*1=0}\)

czyli wracajac mamy
\(\displaystyle{ \lim e^{x}=1}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Granice

Post autor: luka52 » 15 sie 2007, o 14:59

setch, można nieco szybciej:
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to a} ft( \frac{a + x - 2a}{a + 2x - 3a} \frac{\sqrt{a + 2x} + \sqrt{3a}}{\sqrt{a + x} + \sqrt{2a}} \right) = \lim_{x \to a} \frac{(x - a) ft( \sqrt{a + 2x} + \sqrt{3a} \right)}{2(x-a) ft( \sqrt{a + x} + \sqrt{2a} \right)} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3a} + \sqrt{3a}}{\sqrt{2a}+ \sqrt{2a}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granice

Post autor: max » 15 sie 2007, o 15:09

[quote="greey10"]1)
\(\displaystyle{ \lim{(e^{\tan{x}\ln{\tan{x}}})}\\
\lim \tan{x}\ln{\tan{x}}=\lim \frac{\tan{x}}{x}x\ln{\tan{x}=\lim x*1=0}\)
[/quote]

Wynik poprawny, ale przekształcenia niejasne..
Można np skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}x\ln x = 0}\)
i dlatego:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} \tan{x}\ln{\tan{x}} = 0}\)

A zamiast 'wracając' ładniej byłoby napisać - 'korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej'. ;-)

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Granice

Post autor: greey10 » 15 sie 2007, o 15:15

znacze moze zapis jest troche brzydki przyznaje moj tex daleko odbiega od doskonalosci jednak przeksztalcenie jest ok przecierz
\(\displaystyle{ \lim \ln{\tan{x}}=1}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granice

Post autor: max » 15 sie 2007, o 15:17

greey10 pisze:\(\displaystyle{ \lim \ln{\tan{x}}=1}\)
Jesteś pewien?

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Granice

Post autor: greey10 » 15 sie 2007, o 16:05

a nie masz racje bedzie rozbiezne do minus nieskonczonosci, zdecydowanie trzeba skorzystac z twojej metody \(\displaystyle{ x\ln{x}}\)

ODPOWIEDZ