Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Równanie zespolone

Post autor: zielony789 » 3 sie 2007, o 00:23

No więc treść zadania brzmi tak:

Wyznacz wszystkie liczby zespolone, które są równe, kwadratowi odwrotności swojego sprzeżenia.

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 3 sie 2007, o 01:21 przez zielony789, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Równanie zespolone

Post autor: Tristan » 3 sie 2007, o 01:24

Zapoznaj się z regulaminem, szczególnie z nazewnictwem tematów. Różne zadania dawaj do różnych działów, bo inaczej właśnie będzie bałagan.
Co do samego zadania, to niech \(\displaystyle{ z=a+bi}\). Wtedy z treści zadania otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ a+bi=\frac{1}{ (a-bi)^2 }}\). Mamy z tego, że \(\displaystyle{ (a+bi)(a-bi)(a-bi)=1}\), więc \(\displaystyle{ (a^2+b^2)(a-bi)=1}\). Wymnóż to do końca i porównań część rzeczywistą i urojoną po prawej i lewej stronie równania, skąd dostaniesz układ równań \(\displaystyle{ a^3+ab^2=1 -a^2 b- b^3=0}\). Z rozwiązaniem tego układu już powinieneś sobie poradzić.

zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Równanie zespolone

Post autor: zielony789 » 3 sie 2007, o 16:46

Z tych dwóch równań otrzymałem taki oto układ:

a*(a^+b^2)=1
b(a^2+b^2)=0

W drugim równaniu przyrównałem do zera b oraz (a^2+b^2).

Dla b=0 wyszło mi a=1 a dla (a^2+b^2) wyszła sprzeczność . Czy jest to poprawne rozwiązanie?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Równanie zespolone

Post autor: Tristan » 3 sie 2007, o 18:02

Tak. Przy okazji radzę zapoznać się z LaTeX-em .

zielony789
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 3 sie 2007, o 00:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 2 razy

Równanie zespolone

Post autor: zielony789 » 28 sie 2007, o 21:53

Mam pytanie jak rozwiązać pierwsze równanie z mojego poprzedniego posta? Czy może to co podałem jako odpowedź jest wystarczające dla tego zadania?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Równanie zespolone

Post autor: Tristan » 28 sie 2007, o 22:17

Skoro \(\displaystyle{ b (a^2 +b^2)=0}\), to \(\displaystyle{ b=0 a^2 + b^2=0}\). Jednak druga możliwość prowadzi do sprzeczności. Musi być więc \(\displaystyle{ b=0}\). Wstawiając to do pierwszego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ a a^2=1}\), więc \(\displaystyle{ a^3=1}\). Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ a \mathbb{R}}\), czyli \(\displaystyle{ a=1}\).

ODPOWIEDZ