Matematyka.pl

Witam!

Czy dobrze to rozwiązuję? :

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos 2x)}{\ln (\cos 5x)} = \lim_{x \to 0} \log _{\cos 5x} \cos 2x = \log _{1}1 = 1}\)

Nie, bo \(\displaystyle{ \log_1}\) nie ma sensu

A jeśli osobno obliczę granicę lewo- i prawostronną i będę miał:
\(\displaystyle{ \log _{1 ^{+} } 1 ^{+} = 1 \wedge \log _{1 ^{-} } 1 ^{-} = 1}\)

To niesttey nie ma sensu. Jaka wartośc ma według Ciebie \(\displaystyle{ 1^+}\)?

Dążącą do jedynki, ale od niej większą.

Nie mam innego pomysłu na to zadanie.

Najprostsza jest reguła de l'Hospitala

-- 8 gru 2015, o 14:53 --

mOżęsz tez pokazac, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}\) i skorzystac z faktu, że \(\displaystyle{ \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha}\)

\(\displaystyle{ \log_{a}(b)}\) to odpowiedź na pytanie do jakiej potęgi należy podnieść \(\displaystyle{ a}\) , aby otrzymać \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ \log_{1}(1)}\) to znaczy do jakiej potęgi należy podnieść \(\displaystyle{ 1}\) , aby otrzymać \(\displaystyle{ 1}\). Odpowiadam - do dowolnej potęgi rzeczywistej np.
\(\displaystyle{ 1^{5}=1}\)
\(\displaystyle{ 1^{-10}=1}\)
\(\displaystyle{ 1^{0}=1}\)

Dlatego można rozumieć wyrażenie \(\displaystyle{ \log_{1}(1)}\) jako zbiór liczb rzeczywistych. Jednak definicja logarytmu nie uwzględnia takiego rozumowania, ponieważ \(\displaystyle{ \log_{1}(1)= \frac{\ln(1)}{\ln(1)}= \frac{0}{0}}\) co prowadzi do nieoznaczoności, które pozbawione jest sensu. I dlatego \(\displaystyle{ \log_{1}(1)}\) nie ma sensu.