Matematyka.pl

Witam, mam następujące zadanie:
Do pustej, okrągłej, płaskodennej studni wrzucono dwa patyki, jeden o długości 2m, drugi 3m. Patyki ułożyły się w płaszczyźnie, która zawiera oś studni, są skrzyżowane a ich dolne końce znajduję się naprzeciw siebie przy ścianie. Jaka jest szerokość studni skoro punkt przecięcia patyków znajduje się dokładnie 1m nad dnem?
Podchodziłem do tego zadania kilka razy i nigdy go nie skończyłem choć znam wynik. Czy ktoś ma ochotę się z nim zmierzyć. Chętnie zobaczę efekty.
Pozdrawiam, Adam SQ6DGF

Według mnie nie ma podanej jakieś informacji. Spróbuj narysować owy rysunek.
Nie można twierdzić dokładnie pod jakim katem przecinają się te patyki.

Witam Cię niewiadomo. W zadaniu są wszystkie informacje niezbędne do rozwiązania, niczego nie brakuje. Przecież nie potrzeba wielkiej wyobraźni aby narysować płaszczyznę zawierającą oś studni, ograniczoną z lewej i z prawej strony ścianą studni a z dołu dnem studni, od góry może być nieograniczona. Z treści zadania wynika, że średnica studni zawiera się w przedziale (0, 2) [m], powyżej dwóch metrów krótszy patyk będzie leżał na dnie i nie będzie się mógł skrzyżować. Z lewego i z prawego, dolnego rogu tej płaszczyzny rysujesz dwa ukośne odcinki różnej długości aż do przeciwległego boku. I to jest cały rysunek. Jeśli średnica studni będzie maleć to patyki będą ustawione coraz bardziej pionowo a ich punkt przecięcia będzie się podnosił, jeśli będzie rosnąć to punkt przecięcia patyków będzie opadał. Jest taka wartość średnicy studni dla której punkt przecięcia patyków znajduje się dokładnie 1 m nad dnem studni i obliczenie tej wartości jest twoim zadaniem. Jeśli jeszcze czegoś nie wiadomo to napisz a ja postaram się uzupełnić.
Pozdrawiam i życzę owocnych obliczeń.
Adam SQ6DGF.

Jak mogę coś zaproponować - bo podejrzewam że macie większy talent ode mnie w tej materii. Można spróbować zastosować twierdzenie Talesa, wtedy dochodzi się do równania z jednym rozwiązaniem, tyle tylko że nie potrafię je roztegować(jest gorzej niż kwadratowe). Jak się wyśpię to może jeszcze raz podejdę do tego zadania

Witaj taka_jedna, bardzo by mnie ucieszyło gdyby udało Ci się rozwiązać to zadanie. Ja pisząc, że nigdy nie skończyłem tego zadania wyraziłem się nie ściśle ponieważ nie skończyłem go na papierze tylko w końcowym etapie podparłem się programem komputerowym do rysowania wykresów funkcji i obliczania miejsc zerowych i stąd znam wynik. Jednak chciałbym zobaczyć wynik "obliczony na papierze". To zadanie jest warte tego wysiłku.
Pozdrawiam, Adam SQ6DGF.

zadanie mozna "łatwo" rozwiązać analitycznie, ja obrałem sobie punkt przecięcia patyków jako początek układu wspólrzędnych. Problem jednak tkwi w rachunkach - zaniechałem obliczeń na tym etapie:
(szukana długość wynosi b-a)
b należy obiczyć z tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5b^2+9}}=\frac{1}{4}+\frac{4b^2}{45b^4+126b^2+81}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2b}{\sqrt{5b^2+9}}}\)


P.S. takie trochę "chamskie" rozwiązanie, spróbuje jeszcze potem pomysleć

Własnie sęk tkwi w obliczeniach... też zaczałem robic analitycznie (co prawda nieco inaczej to wszystko porozmieszczałem), ale wychodzi wielomian 4tego stopnia który ma tylko jeden pierw. niewymierny i niestety nie jest to takie proste, a ile tak w ogóle powinno wyjść?

A można by prosić ten wielomian?

Bez przemnażania
\(\displaystyle{ 5(1-a)^2 = a^2 (a-2)}\)
Jak już znajdziesz wartośc "a", to szukaną średnicą bedzie: \(\displaystyle{ c = \sqrt{9 - a^2}}\)
albo jak wolisz inny wielomian:
\(\displaystyle{ 5(1-d)^2 = d^3 (2-d)}\) i wtedy średnia jest: \(\displaystyle{ c = \sqrt{4 - d^2}}\)

Ten pierwszy wielomian jest faktycznie sześcienny?
Wziąłem się za drugi i na upartego to mogę policzyć wartość pierwiastków(a) jego, tylko że wszyscy wiemy jak 'cudowne' wyniki dają wzory Cardana ; )

Taką techniką dojdziemy do punktu rozwiązywania równania czwartego stopnia. Jeśli kogoś nie interesuje wartość dokładna, może skorzystać z metod numerycznych, lub np. z

Rogal pisze:Ten pierwszy wielomian jest faktycznie sześcienny?

Raczej nie bardzo zapewne literówka...

Równolegle toczy się dyskusja na
... 804#186804
tam też pojawia się rzeczone równanie wielomianowe

Rogal pisze:Ten pierwszy wielomian jest faktycznie sześcienny?
Wziąłem się za drugi i na upartego to mogę policzyć wartość pierwiastków(a) jego, tylko że wszyscy wiemy jak 'cudowne' wyniki dają wzory Cardana ; )

O raaany, faktycznie, literówka, sorry jest 4tego stopnia of kors i jest postaci: \(\displaystyle{ 5(1-a)^2 = a^3(a-2)}\)
A co do tego drugiego to on też jest przeciez 4tego stopnia...

Cóż, na dzisiejszy stan wiedzy matematycznej na temat natury równań sześciennych wynik jest na matematyka.org policzony, a ja póki co nie dam rady wiedzy na temat tych równań poszerzyć, więc pozostaje się zadowolić wynikiem przybliżonym ; )