[Równania] Zadanie ze studnią

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
SQ6DGF
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 lip 2007, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Legnica

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: SQ6DGF » 18 lip 2007, o 16:57

Witam, mam następujące zadanie:
Do pustej, okrągłej, płaskodennej studni wrzucono dwa patyki, jeden o długości 2m, drugi 3m. Patyki ułożyły się w płaszczyźnie, która zawiera oś studni, są skrzyżowane a ich dolne końce znajduję się naprzeciw siebie przy ścianie. Jaka jest szerokość studni skoro punkt przecięcia patyków znajduje się dokładnie 1m nad dnem?
Podchodziłem do tego zadania kilka razy i nigdy go nie skończyłem choć znam wynik. Czy ktoś ma ochotę się z nim zmierzyć. Chętnie zobaczę efekty.
Pozdrawiam, Adam SQ6DGF
Ostatnio zmieniony 19 lip 2007, o 19:46 przez SQ6DGF, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

niewiadomo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 119
Rejestracja: 17 paź 2006, o 17:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z nikąd
Podziękował: 7 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: niewiadomo » 18 lip 2007, o 22:20

Według mnie nie ma podanej jakieś informacji. Spróbuj narysować owy rysunek.
Nie można twierdzić dokładnie pod jakim katem przecinają się te patyki.

SQ6DGF
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 lip 2007, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Legnica

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: SQ6DGF » 19 lip 2007, o 20:10

Witam Cię niewiadomo. W zadaniu są wszystkie informacje niezbędne do rozwiązania, niczego nie brakuje. Przecież nie potrzeba wielkiej wyobraźni aby narysować płaszczyznę zawierającą oś studni, ograniczoną z lewej i z prawej strony ścianą studni a z dołu dnem studni, od góry może być nieograniczona. Z treści zadania wynika, że średnica studni zawiera się w przedziale (0, 2) [m], powyżej dwóch metrów krótszy patyk będzie leżał na dnie i nie będzie się mógł skrzyżować. Z lewego i z prawego, dolnego rogu tej płaszczyzny rysujesz dwa ukośne odcinki różnej długości aż do przeciwległego boku. I to jest cały rysunek. Jeśli średnica studni będzie maleć to patyki będą ustawione coraz bardziej pionowo a ich punkt przecięcia będzie się podnosił, jeśli będzie rosnąć to punkt przecięcia patyków będzie opadał. Jest taka wartość średnicy studni dla której punkt przecięcia patyków znajduje się dokładnie 1 m nad dnem studni i obliczenie tej wartości jest twoim zadaniem. Jeśli jeszcze czegoś nie wiadomo to napisz a ja postaram się uzupełnić.
Pozdrawiam i życzę owocnych obliczeń.
Adam SQ6DGF.

Awatar użytkownika
taka_jedna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 23 sie 2006, o 14:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Aj em from Poland
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 23 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: taka_jedna » 19 lip 2007, o 20:47

Jak mogę coś zaproponować - bo podejrzewam że macie większy talent ode mnie w tej materii. Można spróbować zastosować twierdzenie Talesa, wtedy dochodzi się do równania z jednym rozwiązaniem, tyle tylko że nie potrafię je roztegować(jest gorzej niż kwadratowe). Jak się wyśpię to może jeszcze raz podejdę do tego zadania

SQ6DGF
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 15 lip 2007, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Legnica

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: SQ6DGF » 19 lip 2007, o 21:50

Witaj taka_jedna, bardzo by mnie ucieszyło gdyby udało Ci się rozwiązać to zadanie. Ja pisząc, że nigdy nie skończyłem tego zadania wyraziłem się nie ściśle ponieważ nie skończyłem go na papierze tylko w końcowym etapie podparłem się programem komputerowym do rysowania wykresów funkcji i obliczania miejsc zerowych i stąd znam wynik. Jednak chciałbym zobaczyć wynik "obliczony na papierze". To zadanie jest warte tego wysiłku.
Pozdrawiam, Adam SQ6DGF.

Awatar użytkownika
PFloyd
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: PFloyd » 19 lip 2007, o 22:24

zadanie mozna "łatwo" rozwiązać analitycznie, ja obrałem sobie punkt przecięcia patyków jako początek układu wspólrzędnych. Problem jednak tkwi w rachunkach - zaniechałem obliczeń na tym etapie:
(szukana długość wynosi b-a)
b należy obiczyć z tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5b^2+9}}=\frac{1}{4}+\frac{4b^2}{45b^4+126b^2+81}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{2b}{\sqrt{5b^2+9}}}\)


P.S. takie trochę "chamskie" rozwiązanie, spróbuje jeszcze potem pomysleć

palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: palazi » 19 lip 2007, o 22:43

Własnie sęk tkwi w obliczeniach... też zaczałem robic analitycznie (co prawda nieco inaczej to wszystko porozmieszczałem), ale wychodzi wielomian 4tego stopnia który ma tylko jeden pierw. niewymierny i niestety nie jest to takie proste, a ile tak w ogóle powinno wyjść?

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: Rogal » 19 lip 2007, o 23:23

A można by prosić ten wielomian?

palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: palazi » 19 lip 2007, o 23:31

Bez przemnażania
\(\displaystyle{ 5(1-a)^2 = a^2 (a-2)}\)
Jak już znajdziesz wartośc "a", to szukaną średnicą bedzie: \(\displaystyle{ c = \sqrt{9 - a^2}}\)
albo jak wolisz inny wielomian:
\(\displaystyle{ 5(1-d)^2 = d^3 (2-d)}\) i wtedy średnia jest: \(\displaystyle{ c = \sqrt{4 - d^2}}\)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: Rogal » 20 lip 2007, o 00:45

Ten pierwszy wielomian jest faktycznie sześcienny?
Wziąłem się za drugi i na upartego to mogę policzyć wartość pierwiastków(a) jego, tylko że wszyscy wiemy jak 'cudowne' wyniki dają wzory Cardana ; )

artysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 19 lip 2007, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: artysta » 20 lip 2007, o 00:52

Taką techniką dojdziemy do punktu rozwiązywania równania czwartego stopnia. Jeśli kogoś nie interesuje wartość dokładna, może skorzystać z metod numerycznych, lub np. z http://www.akiti.ca/Quad4Deg.html

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: max » 20 lip 2007, o 01:19

Rogal pisze:Ten pierwszy wielomian jest faktycznie sześcienny?
Raczej nie bardzo zapewne literówka...

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 456
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 137 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: JHN » 20 lip 2007, o 09:28

Równolegle toczy się dyskusja na
http://www.matematyka.org/forum/viewtop ... 804#186804
tam też pojawia się rzeczone równanie wielomianowe

palazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łapy/Białystok
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: palazi » 20 lip 2007, o 10:13

[quote="Rogal"]Ten pierwszy wielomian jest faktycznie sześcienny?
Wziąłem się za drugi i na upartego to mogę policzyć wartość pierwiastków(a) jego, tylko że wszyscy wiemy jak 'cudowne' wyniki dają wzory Cardana ; )[/quote]

O raaany, faktycznie, literówka, sorry :P jest 4tego stopnia of kors i jest postaci: \(\displaystyle{ 5(1-a)^2 = a^3(a-2)}\)
A co do tego drugiego to on też jest przeciez 4tego stopnia...

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

[Równania] Zadanie ze studnią

Post autor: Rogal » 22 lip 2007, o 15:14

Cóż, na dzisiejszy stan wiedzy matematycznej na temat natury równań sześciennych wynik jest na matematyka.org policzony, a ja póki co nie dam rady wiedzy na temat tych równań poszerzyć, więc pozostaje się zadowolić wynikiem przybliżonym ; )

ODPOWIEDZ