Matematyka.pl

Wskazane różnorakie metody...

\(\displaystyle{ \frac{a}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} = \frac{a}{2} \left( \frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right) \le \frac{a}{2} \left(\frac{b+c}{2} \right) = \frac{ab+bc}{4}}\)

Po wysumowaniu dostaniemy do udowodnienia \(\displaystyle{ ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2}\)

Przekształćmy do równoważnej nierówności
\(\displaystyle{ \frac{abc}{b+c}+ \frac{abc}{a+c}+ \frac{abc}{a+b} \le \frac{a ^{2}+b^{2} }{4}+\frac{a^{2}+c^{2} }{4}+\frac{b^{2}+c^{2} }{4}}\)

Szacując każdy z ułamków z prawej strony z AM-GM i dzieląc równanie przez \(\displaystyle{ abc}\) mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \le \frac{1}{2c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2a}}\)

Aby to udowodnić bierzemy 3 razy dla 3 różnych par niewiadomych nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{b+c} \le \frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}}\)
i dodajemy stronami.

Dowód ostatniej nierówności:
Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{4}{b+c} \le \frac{b+c}{bc}}\)

Mnożąc na krzyż i przerzucając na jedną stronę dostaniemy
\(\displaystyle{ (b-c)^{2} \ge 0}\)