Matematyka.pl

Czy i jakie i dla jakich \(\displaystyle{ n}\) :
\(\displaystyle{ a^2+ (a+1)^2+…+ (a+n)^2 = b^2}\)
ma rozwiązania w zbiorze \(\displaystyle{ N}\) ?
np. jeśli \(\displaystyle{ n=2}\) to \(\displaystyle{ (a-1)^2+ a^2+ (a+1)^2 =3a^2 +2 \equiv 2 \ ( \mod 3) \neq b^2}\)
itp.

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(a+i)^2=\sum_{k=1}^{a+n}k^2-\sum_{k=1}^{a-1}k^2=\frac{1}{6}(a+n)(2a+2n+1)(a+n+1)-\frac{1}{6}(a-1)(2a-1)a}\)

może coś z tego wyjdzie

Komputer znalazł kilka rozwiązań, ale raczej nie udowodni, że dla któregoś \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań nie ma wcale. Po lewej \(\displaystyle{ n}\), po prawej najmniejsze dobre \(\displaystyle{ a}\).
To wystarcza do poszperania w OEIS: , , [url=https://oeis.org/A001032]trzy[/url].

Udowodniono też, że: jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest taka, że \(\displaystyle{ m =\frac{k^2-1}{48 } \in N}\) (np. \(\displaystyle{ k=7}\)) to dla \(\displaystyle{ a=23m+1}\): \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{k^2} (a+i)^2= (k(49m+2))^2}\)

Inny problem:
Czy jeśli dla jakiegoś \(\displaystyle{ n}\) równanie to ma rozwiazanie, to czy ma ich nieskończoną ilość ?

Komputer znalazł kilka rozwiązań, ale raczej nie udowodni, że dla któregoś n rozwiązań nie ma wcale.

Jak udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ y \in N}\) iż \(\displaystyle{ 38^2+...+48^2 = y^2}\)
(bez nudnego sumowania i tp)
i jak udowodnić, że rozwiązań jest nieskończona ilość (tj. względem) \(\displaystyle{ n}\) ?