Matematyka.pl

Witam.
Za rok mam zacząć się uczyć rozszerzonej matematyki, od początku biorę korepetycje - wybrałem z dwojga złego, pod koniec zaczęło jakoś trójkowo iść, uznałem, że lepsze to niż geografia. Ćwiczenia zacząłem już od algebry.
Z równaniami typu:
\(\displaystyle{ 2x+10=7x-5 \\
2x - 7x = -5 - 10 \\
-5x = -15/:-5}\)
\(\displaystyle{ x = 3}\) (dotyczy też opcji z ułamkami) sb radzę

Problem mam tylko z przykładami typu:
\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+2}=0}\)

Wiem o równaniach obustronnych, z oczywistych przyczyn wykluczam, że \(\displaystyle{ x=-2}\). Nie wiem tak naprawdę do czego dążę. Wydaje mi się, że korepetytor coś wspominał, że w takich przykładach \(\displaystyle{ x-5}\) bierzemy w nawias i traktujemy jako jedno wyrażenie, tak samo z \(\displaystyle{ x-2}\), ale nie jestem pewny. Nwm tak naprawdę do jakiej postaci dążę - wiem, że poznać \(\displaystyle{ x}\). Przychodzi mi na myśl, żeby wartości pod i nad kreskową ułamkową były takie same, lub, aby pod kreską było \(\displaystyle{ 1}\) - o to chodzi? Jest jakiś "algorytm" (tak jak przy prostszych równaniach jak te które podałem wyżej?)

Szczerze mówiąc nie rozumiem, o co pytasz. Równania "ułamkowe" - czyli równania wymierne, stosując terminologię matematyczną - rozwiązuje się tak jak napisałeś, wyznacza się najpierw dziedzinę na podstawie mianownika ułamka, a następnie przyrównuje się licznik do zera (zakładając, że po drugiej stronie równania jest zero).

falek pisze:Nwm tak naprawdę do jakiej postaci dążę - wiem, że poznać \(\displaystyle{ x}\).

Tu nie chodzi o przekształcanie tego ułamka. Po ustaleniu dziedziny musisz skorzystać z wiedzy, że ułamek jest równy zero dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zero.

JK

Nie wiem tak naprawdę do czego dążę.

Twoim zadaniem jest rozwiązanie "równania z kreską ułamkową", czyli tego:
\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+2}=0}\)

Rozwiązanie tego równania sprowadza się do odpowierdzi na pytanie: Kiedy ułamek równa się zeru?

Oczywiście ułamek równy jest zeru, gdy jego licznik równa się zeru. Możemy więc napisać:

\(\displaystyle{ \frac{x-5}{x+2}=0 \ \Leftrightarrow \ x-5 =0, c \Leftrightarrow \text{czyli gdy} \ x=5}\).
Musimy jeszcze wykluczyć przypadek zerowania się mianownika, bo mianownik ułamka nie może być zerem.

Zatem trzeba napisać

\(\displaystyle{ x+2 \neq 0 \Rightarrow \ x \neq -2}\). To ustalanie niedozwolonych w równaniu iksów zwiemy wyznaczaniem dziedziny równania.

Przyrównuje do 0 czyli po prostu robi tak, żeby wartość licznika wynosiła 0? Z tego wynika, że tutaj na logikę będzie 5, taka odpowiedź jest w odpowiedziach, więc wydaje się ok, ale mianownik tak po prostu "zostawiam"? I czy w tego typu przykładach zawsze wychodzi równanie toższamościowe to jest - \(\displaystyle{ 0=0}\)? Proszę o odpowiedź czy mianownik mogę tak bez niczego potraktować jakby go nie było, a jeśli nie co z nim robić. Proszę o wytłumaczenie i może kilka tego typu przykładów. Dziękuję za pomoc.

falek pisze:Przyrównuje do 0 czyli po prostu robi tak, żeby wartość licznika wynosiła 0?

Tak.

falek pisze:I czy w tego typu przykładach zawsze wychodzi równanie tożsamościowe to jest - \(\displaystyle{ 0=0}\)?

Ale gdzie Ci wychodzi takie równanie? Po podstawieniu \(\displaystyle{ x=5}\)? No tak powinno być. Skoro to jest rozwiązanie, to po podstawieniu powinna Ci wyjść prawda i dotyczy to każdego równania, które rozwiązujesz, nie tylko tego.

falek pisze:Proszę o odpowiedź czy mianownik mogę tak bez niczego potraktować jakby go nie było, a jeśli nie co z nim robić.

Mianownik nie ma wpływu na zerowanie się ułamka, ma natomiast wpływ na dziedzinę.

JK

Właśnie patrząc na rozwiązanie tego przykładu tak myślałem, ale tego mianownika nie byłem pewny. Dziękuję za pomoc i mam prośbę - możecie dać kilka podobnych przykładów? (w tym takich gdzie po drugiej stronie nie wychodzi 0, żebym spróbował?

Proszę o odpowiedź czy mianownik mogę tak bez niczego potraktować jakby go nie było

Możesz, ale tylko wtedy, gdy wiesz, że ten mianownik nie jest zerem. I to tylko w przypadkach, gdy prawą stroną "równania z kreską ułamkową" jest zero. Jeśli prawa strona "równania z kreską ułamkową" nie jest zerem, to trzeba je rozwiązywać wg powszechnie znanych zasad rozwiązywania równań wymiernych.



-- 3 lip 2015, o 19:11 --

możecie dać kilka podobnych przykładów? (w tym takich gdzie po drugiej stronie nie wychodzi 0, żebym spróbował?

Weźmy proste równanie wymierne

\(\displaystyle{ \frac{x-a}{x-b}=\text{coś tam}}\)

1. Najpierw określamy dziedzinę, czyli zbiór dozwolonych iksów.
W tym równaniu musi być

\(\displaystyle{ x \neq b}\)

2. Przenieśmy wszystko na jedną stronę

\(\displaystyle{ \frac{x-a}{x-b}-\text{coś tam}=0}\)

3. Sprowadźmy lewą stronę do wspólnego mianownika

\(\displaystyle{ \frac{x-a}{x-b}- \frac{\left( \text{coś tam}\right)\left( x-b\right) }{x-b} =0}\)

4. Napiszmy to na jednej kresce

\(\displaystyle{ \frac{x-a-\left( \text{coś tam}\right)\cdot \left( x-b\right)}{x-b}=0}\)

5. I teraz licznik przyrównujemy do zera

\(\displaystyle{ x-a-\left( \text{coś tam}\right) \cdot \left( x-b\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x\left( 1-\text{coś tam}\right) =a-b \cdot \left( \text{coś tam}\right)}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{a-b \cdot \left( \text{coś tam}\right)}{ 1-\text{coś tam} }}\)

Oczywiście musi być \(\displaystyle{ \text{coś tam} \neq 1}\) (dlaczego?)

Nie dzielimy przez 0 - a ten przykład? Mogę go traktować jak proporcję?

\(\displaystyle{ \frac{3x-1}{x+2}= \frac{2}{3} \\
(3x-1) \cdot 3=(x+2) \cdot 2 \\
9x-3=2x+4 \\
9x-2x=4+3 \\
7x=7/:7 \\
x=1}\)
Wow, zaczyna wychodzić. Ogólnie czy zawsze będzie tu można wykorzystywać proporcję? W sumie chyba bardziej się bałem, że tego nie umiem niż nie umiem.

falek pisze:\(\displaystyle{ 9x-2x=4+3 \\
7=7}\)

A co to jest? Bo na pewno nie rozwiązanie.

falek pisze:Ogólnie czy zawsze będzie tu można wykorzystywać proporcję?

W równaniach można, ale nie zapominaj o dziedzinie.

JK

Wybaczcie, chyba zmęczenie. Teraz wszystko jest ok?

Teraz tak (tylko nie sprawdziłeś dziedziny).

JK

A przykład:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0}\)

Na ten już nie mam pomysłu.

\(\displaystyle{ x \neq 1}\) to na pewno, ale co dalej?

Dobra wiem - jest jakiś sposób, żeby sobie z tym radzić? Musiałem zobaczyć podobny (nie identyczny) przykład na video, aby wiedzieć co zrobić, a samemu myślałem długo i nic, a to jeden z prostszych:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0/:(x-1) \\
1+2(x-1)=0 \\
1+2x-2=0 \\
2x=2-1 \\
2x=1/:2}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0/:(x-1)}\)

Tutaj to mnożysz zamiast dzielić. Reszta widzę że dobrze więc pewnie pomyliłeś znaki jak pisałeś...

falek pisze:A przykład:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} +2=0}\)

Skoro lubisz z proporcji:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} =\frac{-2}{1}}\)