[MIX] Zadania różne XIV
: 13 cze 2015, o 18:12
1. rozwiązane przez Msciwoja
Niech \(\displaystyle{ f(n)= 1!+ 2!+ ....+ n!}\). Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ W, U}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n+2)= W(n)f(n+1) + U(n)f(n)}\)
dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
2. Niech \(\displaystyle{ S= \{ 1, .., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \subset S}\) i gdy \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ x+y \in A}\) lub \(\displaystyle{ x+y-n \in A}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez liczność zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Indonezja
3. Czy istnieją trójkąty o kątach \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma}\) takie, że \(\displaystyle{ tg(\alpha), tg(\beta) , tg(\gamma)}\) są liczbami całkowitymi ?
4. rozwiązane przez Marcin7Cd
Jakie funkcje \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) są takie, że
\(\displaystyle{ (x-y)(f(x)+f(y)) = (x+y)(f(x)-f(y))}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\) ?
5. rozwiązane przez Msciwoja
Niech \(\displaystyle{ d(x,y)= \sqrt{( \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor)^2 + (\{x \} - \{y \})^2 }}\). Wyznaczyć te punkty, które są odległe od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{202}{100}}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ \{x \} = x - \lfloor x \rfloor}\) to część ułamkowa \(\displaystyle{ x}\)
6. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x_0}\) ciąg \(\displaystyle{ x_0, x_1, x_2, ....}\) określony rekurencją \(\displaystyle{ x_{n+1} = 1- |1- 2x_n|}\) gdy \(\displaystyle{ n \geq 0}\) jest okresowy ?
7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 5(\sqrt{1-x}+ \sqrt{1+x} ) = 6x+ 8\sqrt{1-x^2}}\)
8. Wykazać, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów, takich że każdy punkt sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
9. W okrąg jednostkowy wpisano kwadrat i trójkąt równoboczny mające wspólny wierzchołek. Obliczyć pole części wspólnej tych figur
10. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 = \frac{\sqrt{bc}\sqrt[3]{bcd}}{(b+c)(b+c+d) } \\ b^2 = \frac{\sqrt{cd}\sqrt[3]{cda}}{(c+d)(c+d+a) } \\ c^2 = \frac{\sqrt{da}\sqrt[3]{dab}}{(d+a)(d+a+b) } \\ d^2 = \frac{\sqrt{ab}\sqrt[3]{abc}}{(a+b)(a+b+c) } \end{cases}}\)
11. Czy istnieje \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) taka, że \(\displaystyle{ f( f(n-1) ) =f(n+1) - f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\) ?
Macedonia
12. rozwiązane przez Elayne
Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d}\) oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=827 \\ W(2)=1654\\W(3)=2481 \end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ W(-5)+ W(9)}\)
13. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy istnieje „analogia” wzoru \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt{f} = \frac{2}{3}f \sqrt{f}}\) dla \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt[3]{f}}\) ?
14. Rozwiązać równanie diofantyczne
\(\displaystyle{ 7a+14b = 5a^2+ 5ab +5b^2}\)
15. Równanie \(\displaystyle{ x = \sqrt{5+ \sqrt{x+3}}}\) podniesiono dwukrotnie do kwadratu i dało to \(\displaystyle{ x^4 - 10x^2 - x -22=0}\). Czy dowolne równanie czwartego stopnia bez składnika z \(\displaystyle{ x^3}\) można mieć w ten sposób ?
16. W zbiorze \(\displaystyle{ S}\) mającym 21 elementów (będących liczbami rzeczywistymi) suma dowolnych dziesięciu z nich jest mniejsza od sumy pozostałych jedenastu. Udowodnić, że te wszystkie liczby są dodatnie.
Macedonia
17. rozwiązane przez yorgina
Dany jest ciąg zero-jedynkowy \(\displaystyle{ a_0, a_1, ..., a_n}\) w którym \(\displaystyle{ a_0=0}\) i \(\displaystyle{ a_n=1}\).
Wykazać że zbiór \(\displaystyle{ \{ j>0 : \ a_{j-1} \neq a_j \}}\) ma nieparzysta ilość elementów.
18. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 < x < y <z < x+1}\) to \(\displaystyle{ x^2+ y^2 +z^2 < xy + yz +zx +z - x}\)
19. rozwiązane przez Premislava
Jaka jest ostatnia i przedostatnia cyfra \(\displaystyle{ 2^{43}}\) ?
20. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że \(\displaystyle{ ctg(\frac{\pi}{6}) + ctg(\frac{5\pi}{12}) =2}\)
21. rozwiązane przez Marcin7Cd
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 = y \\ y^2+y-1 = z \\ z^2+z-1 = x \end{cases}}\)
22. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić że gdy odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi czworościanu są równe, to jest on ortocentryczny (i także na odwrót)
Uwagi:
Czworościan nazywa się ortocentryczny jeśli jego wysokości mają punkt wspólny.
23. rozwiązane przez Medea 2
Która z liczb jest większa: \(\displaystyle{ 17091982!^2}\) czy \(\displaystyle{ 17091982^{17091982}}\) ?
24. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f(n) - f(n+f(m)) = m}\) dla \(\displaystyle{ n, m \in N}\)
25. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ p, q \in N}\) to \(\displaystyle{ |\sqrt{2} - \frac{p}{q} | > \frac{1}{3q^2}}\)
26. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^3 - x^2 +y^2 = 1 \\ 2y^3 - y^2+x^2 = 1 \end{cases}}\)
27. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 4 \cdot 3^{2^n} + 3 \cdot 4^{2^n}}\) jest podzielna przez 13 tylko gdy \(\displaystyle{ n >0}\) jest parzyste
28. Dowieść że istnieje nieskończona ilość takich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą trójkątną, to \(\displaystyle{ am+b}\) też (i na odwrót).
29. Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na cięciwie \(\displaystyle{ AB}\) i na średnicy okręgu jednostkowego narysowanej pod kątem \(\displaystyle{ 45^{o}}\) do \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AC^2+ BC^2=2}\)
30. Ile jest liczb \(\displaystyle{ 6n}\) cyfrowych (wszystkie cyfry nieparzyste) podzielnych przez 7 ?
\(\displaystyle{ \Delta}\)
Niech \(\displaystyle{ f(n)= 1!+ 2!+ ....+ n!}\). Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ W, U}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n+2)= W(n)f(n+1) + U(n)f(n)}\)
dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
2. Niech \(\displaystyle{ S= \{ 1, .., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \subset S}\) i gdy \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ x+y \in A}\) lub \(\displaystyle{ x+y-n \in A}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez liczność zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Indonezja
3. Czy istnieją trójkąty o kątach \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma}\) takie, że \(\displaystyle{ tg(\alpha), tg(\beta) , tg(\gamma)}\) są liczbami całkowitymi ?
4. rozwiązane przez Marcin7Cd
Jakie funkcje \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) są takie, że
\(\displaystyle{ (x-y)(f(x)+f(y)) = (x+y)(f(x)-f(y))}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\) ?
5. rozwiązane przez Msciwoja
Niech \(\displaystyle{ d(x,y)= \sqrt{( \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor)^2 + (\{x \} - \{y \})^2 }}\). Wyznaczyć te punkty, które są odległe od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{202}{100}}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ \{x \} = x - \lfloor x \rfloor}\) to część ułamkowa \(\displaystyle{ x}\)
6. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x_0}\) ciąg \(\displaystyle{ x_0, x_1, x_2, ....}\) określony rekurencją \(\displaystyle{ x_{n+1} = 1- |1- 2x_n|}\) gdy \(\displaystyle{ n \geq 0}\) jest okresowy ?
7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 5(\sqrt{1-x}+ \sqrt{1+x} ) = 6x+ 8\sqrt{1-x^2}}\)
8. Wykazać, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów, takich że każdy punkt sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
9. W okrąg jednostkowy wpisano kwadrat i trójkąt równoboczny mające wspólny wierzchołek. Obliczyć pole części wspólnej tych figur
10. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 = \frac{\sqrt{bc}\sqrt[3]{bcd}}{(b+c)(b+c+d) } \\ b^2 = \frac{\sqrt{cd}\sqrt[3]{cda}}{(c+d)(c+d+a) } \\ c^2 = \frac{\sqrt{da}\sqrt[3]{dab}}{(d+a)(d+a+b) } \\ d^2 = \frac{\sqrt{ab}\sqrt[3]{abc}}{(a+b)(a+b+c) } \end{cases}}\)
11. Czy istnieje \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) taka, że \(\displaystyle{ f( f(n-1) ) =f(n+1) - f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\) ?
Macedonia
12. rozwiązane przez Elayne
Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d}\) oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=827 \\ W(2)=1654\\W(3)=2481 \end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ W(-5)+ W(9)}\)
13. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy istnieje „analogia” wzoru \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt{f} = \frac{2}{3}f \sqrt{f}}\) dla \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt[3]{f}}\) ?
14. Rozwiązać równanie diofantyczne
\(\displaystyle{ 7a+14b = 5a^2+ 5ab +5b^2}\)
15. Równanie \(\displaystyle{ x = \sqrt{5+ \sqrt{x+3}}}\) podniesiono dwukrotnie do kwadratu i dało to \(\displaystyle{ x^4 - 10x^2 - x -22=0}\). Czy dowolne równanie czwartego stopnia bez składnika z \(\displaystyle{ x^3}\) można mieć w ten sposób ?
16. W zbiorze \(\displaystyle{ S}\) mającym 21 elementów (będących liczbami rzeczywistymi) suma dowolnych dziesięciu z nich jest mniejsza od sumy pozostałych jedenastu. Udowodnić, że te wszystkie liczby są dodatnie.
Macedonia
17. rozwiązane przez yorgina
Dany jest ciąg zero-jedynkowy \(\displaystyle{ a_0, a_1, ..., a_n}\) w którym \(\displaystyle{ a_0=0}\) i \(\displaystyle{ a_n=1}\).
Wykazać że zbiór \(\displaystyle{ \{ j>0 : \ a_{j-1} \neq a_j \}}\) ma nieparzysta ilość elementów.
18. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 < x < y <z < x+1}\) to \(\displaystyle{ x^2+ y^2 +z^2 < xy + yz +zx +z - x}\)
19. rozwiązane przez Premislava
Jaka jest ostatnia i przedostatnia cyfra \(\displaystyle{ 2^{43}}\) ?
20. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że \(\displaystyle{ ctg(\frac{\pi}{6}) + ctg(\frac{5\pi}{12}) =2}\)
21. rozwiązane przez Marcin7Cd
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 = y \\ y^2+y-1 = z \\ z^2+z-1 = x \end{cases}}\)
22. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić że gdy odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi czworościanu są równe, to jest on ortocentryczny (i także na odwrót)
Uwagi:
Czworościan nazywa się ortocentryczny jeśli jego wysokości mają punkt wspólny.
23. rozwiązane przez Medea 2
Która z liczb jest większa: \(\displaystyle{ 17091982!^2}\) czy \(\displaystyle{ 17091982^{17091982}}\) ?
24. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f(n) - f(n+f(m)) = m}\) dla \(\displaystyle{ n, m \in N}\)
25. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ p, q \in N}\) to \(\displaystyle{ |\sqrt{2} - \frac{p}{q} | > \frac{1}{3q^2}}\)
26. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^3 - x^2 +y^2 = 1 \\ 2y^3 - y^2+x^2 = 1 \end{cases}}\)
27. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 4 \cdot 3^{2^n} + 3 \cdot 4^{2^n}}\) jest podzielna przez 13 tylko gdy \(\displaystyle{ n >0}\) jest parzyste
28. Dowieść że istnieje nieskończona ilość takich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą trójkątną, to \(\displaystyle{ am+b}\) też (i na odwrót).
29. Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na cięciwie \(\displaystyle{ AB}\) i na średnicy okręgu jednostkowego narysowanej pod kątem \(\displaystyle{ 45^{o}}\) do \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AC^2+ BC^2=2}\)
30. Ile jest liczb \(\displaystyle{ 6n}\) cyfrowych (wszystkie cyfry nieparzyste) podzielnych przez 7 ?
\(\displaystyle{ \Delta}\)