[MIX] Zadania różne XIV

[mol_ksiazkowy]

1. rozwiązane przez Msciwoja
Niech \(\displaystyle{ f(n)= 1!+ 2!+ ....+ n!}\). Wyznaczyć wielomiany \(\displaystyle{ W, U}\) takie, że \(\displaystyle{ f(n+2)= W(n)f(n+1) + U(n)f(n)}\)
dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
2. Niech \(\displaystyle{ S= \{ 1, .., n \}}\) oraz \(\displaystyle{ \emptyset \neq A \subset S}\) i gdy \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to \(\displaystyle{ x+y \in A}\) lub \(\displaystyle{ x+y-n \in A}\). Udowodnić że \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez liczność zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Indonezja
3. Czy istnieją trójkąty o kątach \(\displaystyle{ \alpha, \beta , \gamma}\) takie, że \(\displaystyle{ tg(\alpha), tg(\beta) , tg(\gamma)}\) są liczbami całkowitymi ?
4. rozwiązane przez Marcin7Cd
Jakie funkcje \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) są takie, że
\(\displaystyle{ (x-y)(f(x)+f(y)) = (x+y)(f(x)-f(y))}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\) ?
5. rozwiązane przez Msciwoja
Niech \(\displaystyle{ d(x,y)= \sqrt{( \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor)^2 + (\{x \} - \{y \})^2 }}\). Wyznaczyć te punkty, które są odległe od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) mniej niż o \(\displaystyle{ \frac{202}{100}}\)
Uwagi: \(\displaystyle{ \{x \} = x - \lfloor x \rfloor}\) to część ułamkowa \(\displaystyle{ x}\)
6. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x_0}\) ciąg \(\displaystyle{ x_0, x_1, x_2, ....}\) określony rekurencją \(\displaystyle{ x_{n+1} = 1- |1- 2x_n|}\) gdy \(\displaystyle{ n \geq 0}\) jest okresowy ?
7. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 5(\sqrt{1-x}+ \sqrt{1+x} ) = 6x+ 8\sqrt{1-x^2}}\)
8. Wykazać, że na sferze jednostkowej istnieje 1600 punktów, takich że każdy punkt sfery jest odległy o nie więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) od któregoś z nich
9. W okrąg jednostkowy wpisano kwadrat i trójkąt równoboczny mające wspólny wierzchołek. Obliczyć pole części wspólnej tych figur
10. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 = \frac{\sqrt{bc}\sqrt[3]{bcd}}{(b+c)(b+c+d) } \\ b^2 = \frac{\sqrt{cd}\sqrt[3]{cda}}{(c+d)(c+d+a) } \\ c^2 = \frac{\sqrt{da}\sqrt[3]{dab}}{(d+a)(d+a+b) } \\ d^2 = \frac{\sqrt{ab}\sqrt[3]{abc}}{(a+b)(a+b+c) } \end{cases}}\)

11. Czy istnieje \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) taka, że \(\displaystyle{ f( f(n-1) ) =f(n+1) - f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\) ?
Macedonia
12. rozwiązane przez Elayne
Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d}\) oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=827 \\ W(2)=1654\\W(3)=2481 \end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ W(-5)+ W(9)}\)
13. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy istnieje „analogia” wzoru \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt{f} = \frac{2}{3}f \sqrt{f}}\) dla \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt[3]{f}}\) ?
14. Rozwiązać równanie diofantyczne
\(\displaystyle{ 7a+14b = 5a^2+ 5ab +5b^2}\)
15. Równanie \(\displaystyle{ x = \sqrt{5+ \sqrt{x+3}}}\) podniesiono dwukrotnie do kwadratu i dało to \(\displaystyle{ x^4 - 10x^2 - x -22=0}\). Czy dowolne równanie czwartego stopnia bez składnika z \(\displaystyle{ x^3}\) można mieć w ten sposób ?
16. W zbiorze \(\displaystyle{ S}\) mającym 21 elementów (będących liczbami rzeczywistymi) suma dowolnych dziesięciu z nich jest mniejsza od sumy pozostałych jedenastu. Udowodnić, że te wszystkie liczby są dodatnie.
Macedonia
17. rozwiązane przez yorgina
Dany jest ciąg zero-jedynkowy \(\displaystyle{ a_0, a_1, ..., a_n}\) w którym \(\displaystyle{ a_0=0}\) i \(\displaystyle{ a_n=1}\).
Wykazać że zbiór \(\displaystyle{ \{ j>0 : \ a_{j-1} \neq a_j \}}\) ma nieparzysta ilość elementów.
18. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0 < x < y <z < x+1}\) to \(\displaystyle{ x^2+ y^2 +z^2 < xy + yz +zx +z - x}\)
19. rozwiązane przez Premislava
Jaka jest ostatnia i przedostatnia cyfra \(\displaystyle{ 2^{43}}\) ?
20. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że \(\displaystyle{ ctg(\frac{\pi}{6}) + ctg(\frac{5\pi}{12}) =2}\)

21. rozwiązane przez Marcin7Cd
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+x-1 = y \\ y^2+y-1 = z \\ z^2+z-1 = x \end{cases}}\)
22. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić że gdy odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi czworościanu są równe, to jest on ortocentryczny (i także na odwrót)
Uwagi:
Czworościan nazywa się ortocentryczny jeśli jego wysokości mają punkt wspólny.
23. rozwiązane przez Medea 2
Która z liczb jest większa: \(\displaystyle{ 17091982!^2}\) czy \(\displaystyle{ 17091982^{17091982}}\) ?
24. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f(n) - f(n+f(m)) = m}\) dla \(\displaystyle{ n, m \in N}\)
25. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ p, q \in N}\) to \(\displaystyle{ |\sqrt{2} - \frac{p}{q} | > \frac{1}{3q^2}}\)
26. rozwiązane przez Premislava
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^3 - x^2 +y^2 = 1 \\ 2y^3 - y^2+x^2 = 1 \end{cases}}\)
27. rozwiązane przez Premislava
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 4 \cdot 3^{2^n} + 3 \cdot 4^{2^n}}\) jest podzielna przez 13 tylko gdy \(\displaystyle{ n >0}\) jest parzyste
28. Dowieść że istnieje nieskończona ilość takich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą trójkątną, to \(\displaystyle{ am+b}\) też (i na odwrót).
29. Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest na cięciwie \(\displaystyle{ AB}\) i na średnicy okręgu jednostkowego narysowanej pod kątem \(\displaystyle{ 45^{o}}\) do \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AC^2+ BC^2=2}\)
30. Ile jest liczb \(\displaystyle{ 6n}\) cyfrowych (wszystkie cyfry nieparzyste) podzielnych przez 7 ?
\(\displaystyle{ \Delta}\)

[Premislav]

19.:    

Ponieważ \(\displaystyle{ (2,25)=1}\) oraz \(\displaystyle{ \phi(25)=20}\), to \(\displaystyle{ 2^{20}\equiv 1\pmod{25}}\) z twierdzenia Eulera, a więc \(\displaystyle{ 2^{43}\equiv 8\pmod{25}}\). To daje możliwe układy ostatnich dwóch cyfr: \(\displaystyle{ 08, 33,58,83}\). Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ 4|2^{43}}\), co powoduje, ze odpadają możliwości \(\displaystyle{ 33,58,83}\).
Odpowiedź: przedostatnią cyfrą \(\displaystyle{ 2^{43}}\) w rozwinięciu dziesiętnym jest zero, a ostatnią \(\displaystyle{ 8}\).

-- 13 cze 2015, o 18:00 --

20.:    

Mamy \(\displaystyle{ \ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}}\) oraz
\(\displaystyle{ \ctg \frac{5\pi}{12}= \frac{\cos \frac{5\pi}{12}}{\sin \frac{5\pi}{12}}= \frac{\cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right)}= \frac{\cos \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{4}}= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{\sqrt{6}+ \sqrt{2}}=\\= \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{4}=2-\sqrt{3}}\)
Dodając, otrzymujemy tezę. Obleśne.

[marcin7Cd]

Coś z 24. jest źle, bo nie ma takiej funkcji

Ukryta treść:    

jeśli naturalne są bez zera to:
dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ N}\), więc \(\displaystyle{ n+f(m) \ge 1}\), biorąc \(\displaystyle{ n=1}\) otrzymuje \(\displaystyle{ f(m) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ m \in N}\).
Jeśli naturalne są z zerem to: \(\displaystyle{ n+f(m) \ge 0 \Rightarrow f(m) \ge 0}\) (podstawiam \(\displaystyle{ n=0}\))
Jednak biorąc \(\displaystyle{ n=1}\) / / \(\displaystyle{ m=f(1)+1}\) otrzymuje \(\displaystyle{ -1=f(1+f(m))}\), czyli sprzeczność, bo prawa strona jest nie ujemna.

-- 13 cze 2015, o 23:58 --

3.:    

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \pi}\) i te kąty są dodatnie i mniejsze od \(\displaystyle{ \pi}\) ,to wtedy można stworzyć trójkąt o takich kątach. weźmy takie najmniejsze dodatnie kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) , że \(\displaystyle{ tg( \alpha)=1 \ tg( \beta )=2}\) (są one na pewno mniejsze od \(\displaystyle{ \pi}\)) , wtedy \(\displaystyle{ tg(\pi- \alpha- \beta)=-tg(\alpha+\beta)=- \frac{tg( \alpha)+tg( \beta)}{1-tg( \alpha)tg( \beta)}=\frac{3}{1}=3}\). Kąty \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \pi- \beta-\alpha}\) spełniają warunki zadania

4.:    

Wymnażając to wyrażenie i upraszczając otrzymuje \(\displaystyle{ xf(y)=yf(x)}\) Weźmy \(\displaystyle{ y=0 \ x=1}\) otrzymuje \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x,y \neq 0}\), dzieląc stronami przez xy otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{f(y)}{y}=\frac{f(x)}{x}}\). Biorąc funkcję \(\displaystyle{ g(x)=\frac{f(x)}{x} \ \hbox{dla} \ x \neq 0}\) i wstawiając do równania otrzymuje \(\displaystyle{ g(y)=g(x)}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ g(x)}\) jest stałe. Powiedzmy, że \(\displaystyle{ g(x)=a \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=a \Rightarrow f(x)=ax \ \hbox{dla} \ x \neq 0}\) Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=ax}\) dla \(\displaystyle{ a \in R}\). Co rzeczywiście się zgadza.

13.:    

Istnieje( trudno sobie wyobrazić udowadnianie braku analogi). Rozwiąże ogólniejszą wersje \(\displaystyle{ \int f'(x) \sqrt[n]{f(x)}dx}\). Zróbmy podstawienia \(\displaystyle{ \sqrt[n]{f(x)}=u \Rightarrow \frac{d\sqrt[n]{f(x)}}{dx}=\frac{du}{dx} \Rightarrow \frac{f'(x)}{n \sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}dx= du}\) Więc \(\displaystyle{ \int f'(x) \sqrt[n]{f(x)}dx= \int \frac{f'(x)}{n \sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}nf(x)dx= \int nf(x)du = \int n u^n du=\frac{n}{n+1}u^{n+1}=\frac{n}{n+1}f(x)\sqrt[n]{f(x)}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) dostaje \(\displaystyle{ \int f^{\prime} \sqrt[3]{f}=\frac{3}{4}f(x)\sqrt[3]{f(x)}}\)

[Msciwoj]

1.:    

Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(n+1) - f(n) = (n+1)!}\). Oraz \(\displaystyle{ (n+1)! \cdot (n+2) = (n+2)! = f(n+2) - f(n+1)}\).
Zatem
\(\displaystyle{ (n+2) \cdot (f(n+1) - f(n)) + f(n+1) = f(n+2)}\)
\(\displaystyle{ (n+3) \cdot f(n+1) - (n+2) \cdot f(n) = f(n+2)}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x+3, U(x) = -(x+2)}\).
Są to wielomiany.

2.:    

Ogólnie to twierdzenie Lagrange'a i nawet pamiętam dowód więc jak to nie wystarczy to mogę go tu zrekonstruować w tym konkretnym przypadku. ale nie teraz, bo idę spać

5.:    

To jest standardowa odległość dla punktów postaci \(\displaystyle{ (\left[ x\right],\left\{ x\right\} )}\). Jak wyglądają wszystkie takie punkty? Otóż w kartezjańskim układzie współrzędnych są to odcinki o długości \(\displaystyle{ 1}\), których \(\displaystyle{ x}\)-ową współrzędną jest liczba całkowita. Odcinek rozciąga się od zera, które do niego należy, do drugiego końca w jedynce, która do niego nie należy.
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) znajduje się dokładnie w połowie odcinka \(\displaystyle{ n=1}\).
Ponieważ odległość od tego środka do końców odcinków \(\displaystyle{ n=0,n=2}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\), co jest mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{202}{100}}\), całe te odcinki, czyli przedziały \(\displaystyle{ \left\langle 0,1 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left\langle 2,3 \right)}\) są w naszym zbiorze szukanych punktów. Oczywiście jest w nim też przedział \(\displaystyle{ \left\langle 1,2 \right)}\), a zatem łącznie jest w nim przedział \(\displaystyle{ \left\langle 0,3 \right)}\).
Mamy jeszcze możliwość, że punkty na odcinkach odległych w poziomie o \(\displaystyle{ 2}\) też nam się załapią, bo \(\displaystyle{ \frac{202}{100} >2}\). Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza moduł różnicy części ułamkowej takiej liczby i liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Wtedy odległość wynosi \(\displaystyle{ d = \sqrt{4 + \alpha^2}}\). Aby była ona mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{202}{100}}\), musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \sqrt{4 + \alpha^2}< \frac{202}{100}}\)
\(\displaystyle{ 4 + \alpha^2< 4 + \frac{8}{100} + \frac{4}{10000}}\)
Oznaczmy teraz
\(\displaystyle{ \alpha_0 = \sqrt{\frac{8}{100} + \frac{4}{10000}}}\)
nasza \(\displaystyle{ \alpha}\) zmienia się od \(\displaystyle{ -\alpha_0}\) do \(\displaystyle{ \alpha_0}\). Dotyczy to odcinków \(\displaystyle{ n=-1, n=3}\), czyli innymi słowy liczb w przedziałach \(\displaystyle{ \left( -1-\alpha_0,-1+\alpha_0 \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( 3-\alpha_0, 3+\alpha_0 \right)}\).

Ostateczny wynik to suma następujących przedziałów:
\(\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2}-\alpha_0,-\frac{1}{2}+\alpha_0 \right), \left\langle 0,3 \right), \left( \frac{7}{2}-\alpha_0, \frac{7}{2}+\alpha_0 \right)}\)

[a4karo]

13:    

\(\displaystyle{ (F(f))'=f'F'(f)}\), więć

\(\displaystyle{ \int f'G(f)=\left(\int G\right)(f)}\)

[Lider_M]

7 hint:    

Podstawić np. \(\displaystyle{ x=\cos t,t\in[0,\pi]}\)

[Elayne]

15:    

Zadanko z CAS. Tak.

Tak na marginesie, można z tego skorzystać przy upraszczaniu pierwiastków i wyrażeń,np:
\(\displaystyle{ 3+2\sqrt{2}= 1+2\sqrt{2}+2 = 1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{2})^2=1+\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5\sqrt{3}+6\sqrt{2}}=\sqrt[4]{12}+\sqrt[4]{27}}\)

[Medea 2]

23:    

Indukcyjnie pokażę, że \(\displaystyle{ (n!)^2 > n^n}\). Jest to prawdą dla \(\displaystyle{ n= 3}\), krok indukcyjny: \(\displaystyle{ (n+1)!^2 > (n^n)(n+1)^2 \ge (n+1)^{n+1}}\). Jeśli podzelimy stronami, to dojdziemy do \(\displaystyle{ n^n \ge (n+1)^{n-1}}\), lub równoważnie

\(\displaystyle{ \left(\frac n {n+1}\right)^{n-1} \cdot n \ge 1,}\)

ale to wynika z nierówności Bernoulliego (\(\displaystyle{ (1+x)^r \ge 1 +rx}\) dla \(\displaystyle{ r = n-1}\) i \(\displaystyle{ 1/x = -n-1}\)): daje ona nam \(\displaystyle{ 2n \ge n+1}\), co jest prawdą dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\). Trochę zamieszałam, ale mam nadzieję, że zrozumiałe.

[Premislav]

Go go Pała Rangers!

26.:    

Sumując te równania stronami i dzieląc otrzymane równanko stronami przez dwa (ban za brak \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a!), otrzymujemy (*)\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}=1}\). Natomiast odejmując stronami drugie równanie z wyjściowego układu od pierwszego równania z tegoż, dostajemy, już po zastosowaniu jakichś podstawowych wzorków, \(\displaystyle{ 2(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-2(x-y)(x+y)=0}\), a dzieląc to jeszcze stronami przez dwa, \(\displaystyle{ (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})-(x-y)(x+y)=0}\), czyli równoważnie
\(\displaystyle{ (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}-x-y)=0}\). Rozpatrzmy teraz dwa przypadki:
1)\(\displaystyle{ x=y}\): wtedy korzystając z (*), wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x=y= \frac{1}{ \sqrt[3]{2} }}\);
2) zdecydowanie dłuższy:\(\displaystyle{ x\neq y}\), czyli \(\displaystyle{ x^{2}+xy+y^{2}-x-y=0}\). Trochę to wieje sandałem (z margaryną, na masło mnie nie stać), więc wprowadźmy nowe zmienne: \(\displaystyle{ x+y=s, xy=t}\). Wtedy układ równoważny wyjściowemu dla \(\displaystyle{ x\neq y}\), czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{3}+y^{3}=1\\ x^{2}+xy+y^{2}-x-y=0 \end{cases}}\)
możemy przepisać jako (mam nadzieję, że nie pomyliłem się w zwijaniu, przynajmniej z naleśnikami idzie mi lepiej):
\(\displaystyle{ \begin{cases} s(s^{2}-3t)=1 \\s^{2}-s-t=0 \end{cases}}\)
No to teraz podstawiamy z drugiego równania do pierwszego \(\displaystyle{ t=s^{2}-s,}\) co daje taki obleśny układzik:
\(\displaystyle{ \begin{cases}s(-2s^{2}+3s)=1 \\ t=s^{2}-s \end{cases}}\)
Skupmy się na tym paskudnym równaniu: równoważnie mamy \(\displaystyle{ -2s^{3}+3s^{2}-1=0}\).
Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ s=1}\) jest rozwiązaniem, więc lewą stronę można zapisać jakoś tak:
\(\displaystyle{ -2(s-1)\left(s^{2}- \frac{1}{2}s- \frac{1}{2} \right)}\)
(zgadłem ten rozkład i wolfram sprawdził, jak ktoś lubi, to może sobie podzielić ten wielomian przez \(\displaystyle{ s-1}\)itd.).
To nam daje takie przypadki:
2a) \(\displaystyle{ s=1}\) - wówczas podstawiając do drugiego równania dostajemy \(\displaystyle{ t=0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ x+y=1\wedge xy=0}\), a zatem \(\displaystyle{ (x,y)=(1,0) \vee (x,y)=(0,1)}\);
2b) \(\displaystyle{ s^{2}- \frac{1}{2}s- \frac{1}{2}=0}\), czyli \(\displaystyle{ \left(s- \frac{1}{4} \right)^{2}- \frac{9}{16}=0}\), a więc \(\displaystyle{ s=1}\) (ale to już było, pierwiastek podwójny) lub \(\displaystyle{ s= -\frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ x+y=- \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ xy= \frac{3}{4}}\) - wówczas rozwiązań nie ma, bo zauważmy se taką nierówność, która by z tego układziku wynikała:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}=(x+y)^{2} \ge 4xy=3}\). Sprzeczność.
Reasumując, rozwiązaniami są następujące pary: \(\displaystyle{ (x,y)=\left( \frac{1}{ \sqrt[3]{2} } , \frac{1}{ \sqrt[3]{2} } \right), (x,y)=(1,0), (x,y)=(0,1)}\).
To mówiłem ja - Jarząbek Wacław.

[marcin7Cd]

21.:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(x+1) = y+1 \\ y(y+1) = z+1 \\ z(z+1) = x+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ xyz(x+1)=yz(y+1)=z(z+1)=x+1 \Rightarrow (xyz-1)(x+1)=0}\), co daje:
1) \(\displaystyle{ x=-1}\) podstawiając do równań otrzymuje \(\displaystyle{ y=-1 , z=-1}\)
2) \(\displaystyle{ xyz=1}\) sumując trzy równania z początkowego układu równań otrzymuje \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=3}\) Zauważmy
\(\displaystyle{ 1 = \sqrt{ \frac{x^2+y^2+y^2}{3} } \ge \sqrt[3]{xyz} \ge \sqrt[3]{ xyz } = 1}\) nierówności stają się równościami, a równość między średnią kwadratową, a arytmetyczną jest wtedy gdy \(\displaystyle{ x=y=z}\). Podstawiając to do równania otrzymuje \(\displaystyle{ x=y=z=1}\) lub \(\displaystyle{ x=y=z=-1}\).
Rozwiązania: \(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,1,1)}\) lub\(\displaystyle{ (x,y,z)=(-1,-1,-1)}\)

26. Można zrobić inaczej

26.:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x^3 - x^2 +y^2 = 1 \\ 2y^3 - y^2+x^2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x^3-x^2-1 = -y^2 \\ y^2(2y-1)= 1-x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)(2x^2+x+1) = -y^2 \\ y^2(2y-1)= -(x-1)(x+1) \end{cases}}\) Wymnażając dwa ostatnie równania otrzymuje \(\displaystyle{ y^2(x-1)(2y-1)(2x^2+x+1)=y^2(x-1)(x+1)}\) Sprawdzam przypadki
1)\(\displaystyle{ x-1=0}\) , co daje \(\displaystyle{ y=0 \ x=1}\)
2) \(\displaystyle{ y=0}\) ,co daje \(\displaystyle{ x=1 \ y=0}\)
Zakładam, że \(\displaystyle{ x \neq 1 \ \ y \neq 0}\), więc mogę podzielić równanie przez \(\displaystyle{ y^2(x-1)}\) otrzymuje
\(\displaystyle{ (2y-1)(2x^2+x+1)=x+1 \Leftrightarrow 4x^2y+2xy+2y-2x^2-2x-2=0 \Leftrightarrow 2x^2y+xy-x^2-x-1=0}\)
Początkowy układ jest symetryczny, więc robiąc, to samo tylko zamieniając \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\) otrzymam \(\displaystyle{ 2xy^2+xy-y^2-y-1=0}\) z założeniem, że \(\displaystyle{ x \neq 0 \ \ y \neq 1}\) Teraz odejmują dwa ostatnio uzyskane równania otrzymuje:
\(\displaystyle{ 2xy(x-y)-(x-y)(x+y)-(x-y)=0 \Leftrightarrow (x-y)(2xy-x-y-1)=0}\)
Co oznacza, że albo \(\displaystyle{ x=y}\) (Skąd łatwo otrzymuje rozwiązanie\(\displaystyle{ (x,y)=( \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}})}\) albo \(\displaystyle{ 2xy=x+y+1}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \neq y}\) i rozważam drugi przypadek. Ten przypadek jest niemożliwy, bo odejmując dwa początkowe równania i dzieląc przez \(\displaystyle{ (x-y)}\) otrzymuje \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-x-y=0}\), a przecież korzystając z równania \(\displaystyle{ 2xy=x+y+1}\) mam
\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-x-y=x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y^2-x-y= x^2 -\frac{1}{2}x + y^2 -\frac{1}{2}y +\frac{1}{2}=\left( x-\frac{1}{4}\right)^2 +\left( y- \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{3}{8} \ge \frac{3}{8}>0}\)
Ostatecznie jedynymi rozwiązaniami są \(\displaystyle{ (x,y)=(0,1) \ (x,y)=(1,0) \ (x,y)=( \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{1}{\sqrt[3]{2}})}\)

18.

Ukryta treść:    

To idzie łatwo z ciągów jedno monotonicznych
\(\displaystyle{ x(x+1)+y^2+z^2 \le x(x+1)+y \cdot z +z \cdot y < x \cdot y +y \cdot z +z \cdot (x+1)}\) pierwsza nierówność zachodzi, bo \(\displaystyle{ y^2+z^2 \le 2xz}\). Druga nierówność zachodzi, bo ciągi \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) oraz \(\displaystyle{ (x+1,z,y)}\) są przeciwnej monotoniczności.

Czy w 28. można podać

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a=1}\), a \(\displaystyle{ b}\) jest różnicą pomiędzy \(\displaystyle{ m}\), a dowolną liczbą trójkątną

[a4karo]

26. Można zrobić inaczej
Ten przypadek jest niemożliwy, bo odejmując dwa początkowe równania i dzieląc przez \(\displaystyle{ (x-y)}\) otrzymuje \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-x-y=0}\), ale
\(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-x-y=x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y^2-x-y= x^2 -\frac{1}{2}x + y^2 -\frac{1}{2}y +\frac{1}{2}=\left( x-\frac{1}{4}\right)^2 +\left( y- \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{3}{8} \ge \frac{3}{8}>0}\)

Ten kawałek jest niestety skopany, bo równanie \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-x-y=0}\) opisuje elipsę, do której należą m.in punkty \(\displaystyle{ (0,0), (1,0), (0,1)}\).

[marcin7Cd]

Ukryta treść:    

Ale korzystam jeszcze niżej z równania \(\displaystyle{ 2xy=x+y+1}\). Podstawiam pod \(\displaystyle{ xy}\) liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}}\) i otrzymuje dodatniość wyrażenia równego 0 . Zauważasz, że równania \(\displaystyle{ 2xy=x+y+1}\) i \(\displaystyle{ x^2+xy+y^2-x-y=0}\) nie mają punktów wspólnych

[a4karo]

To odszczekuję, hau, hau.

[mol_ksiazkowy]

Czy w 28. można podać
\(\displaystyle{ a=1}\), a \(\displaystyle{ b}\) jest różnicą pomiędzy \(\displaystyle{ m}\), a dowolną liczbą trójkątną

chyba nie, bo wtedy \(\displaystyle{ b}\) zależy od \(\displaystyle{ m}\)...

[yorgin]

17:    

Nieparzysta? Wydaje mi się, że parzysta... Tak mi wychodzi z dowodu.

Tezę zamienię na ilość zmian symboli w ciągu. Przez zmianę rozumiem sytuację, w której dwa kolejne elementy ciągu są różne.

Dowód indukcyjny.

Przypadek \(\displaystyle{ n=1}\) jest oczywisty.

Załóżmy, że teza jest prawdziwa dla wszystkich \(\displaystyle{ 1\leq k<n}\), pokażemy, że jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n}\).

Niech \(\displaystyle{ \ell:=\max\{j\in\{1,\ldots, n-1\}\ |\ a_j=1\}}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ \ell=n-1}\), to z założenia jest parzyście wiele zmian znaków.

Jeżeli \(\displaystyle{ \ell<n-1}\), mamy sytuację \(\displaystyle{ 1\ldots 1\underbrace{0}_{\ell+1}\ldots \underbrace{0}_{n-1}1}\)
Z założenia blok \(\displaystyle{ 1\ldots 1}\) ma parzyście wiele zmian symboli, o ile nie jest jednoelementowy. Dalej następują jeszcze dwie widoczne zmiany. Łącznie znów jest ich parzyście wiele.