Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) będzie taką, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1) = \lfloor f(x)-f(x+1) \rfloor}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa.

Jeśli Ci to pomoże, to potrafię pokazać, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1)\in\lbrace -1,0\rbrace}\).

1. Z założenia wynika od razu, że \(\displaystyle{ f(x-1) - f(x+1)\in\ZZ}\).

2. Z definicji podłogi mamy, że \(\displaystyle{ f(x) - f(x+2) \le f(x+1) - f(x+2)}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ f(x) \le f(x+1)}\).

3. Z własności podłogi wynika, że \(\displaystyle{ 1 + \lfloor f(x) - f(x+1)\rfloor + \lfloor f(x-1) - f(x)\rfloor \ge \lfloor f(x-1) - f(x+1)\rfloor}\). Z tej nierówności wynika już, że \(\displaystyle{ \lfloor f(x-1)-f(x)\rfloor \ge -1}\), a z punktu 2. wynika, że \(\displaystyle{ \lfloor f(x-1)-f(x)\rfloor \le 0}\).

Satysfakcjonującym rezultatem byłoby pokazanie, że \(\displaystyle{ \lfloor f(x-1)-f(x)\rfloor = 0}\), wydaje mi się, że o to chodzi w tym zadaniu. Jeszcze nie mam pomysłu, jak to zrobić, jak coś wymyślę (jeżeli) to wrzucę na forum.

zadanie 65 z Nierozwiązanych 5