Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c+d+e=20 \\ abcde= 3^{20} \end{cases}}\)

Wykazać że układ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych. Są jakieś zależności, bo układ nie do rozwiązania 5 niewiadomych a 2 zależności

\(\displaystyle{ 3^m \cdot 3^n \cdot 3^l \cdot 3^p \cdot 3^q=3^{20}}\)

\(\displaystyle{ 3^m +3^n +3^l +3^p +3^q=20}\)

Jeśli \(\displaystyle{ m=n=l=p=q=1}\) to lewa strona \(\displaystyle{ L=15}\)

Jeśli chociaż jedna z liczb \(\displaystyle{ m \cup n \cup l \cup p \cup q \neq 1 \Rightarrow L=21}\)

Ania221 pisze:\(\displaystyle{ 3^m \cdot 3^n \cdot 3^l \cdot 3^p \cdot 3^q=3^{20}}\)
\(\displaystyle{ 3^m +3^n +3^l +3^p +3^q=20}\)
Jeśli \(\displaystyle{ m=n=l=p=q=1}\) to lewa strona \(\displaystyle{ L=15}\)
Jeśli chociaż jedna z liczb \(\displaystyle{ m \cup n \cup l \cup p \cup q \neq 1 \Rightarrow L=21}\)

Po pierwsze wykładniki mogą być także zerami, po drugie skoro szukamy rozwiązań w liczbach całkowitych, to dopuszczamy także rozwiązania postaci \(\displaystyle{ -3^i}\).

Q.

Ania221 pisze:Jeśli chociaż jedna z liczb \(\displaystyle{ m \cup n \cup l \cup p \cup q \neq 1 \Rightarrow L=21}\)

Po trzecie, niepoprawnie używasz symbolu \(\displaystyle{ \cup}\).

JK

Czy nie wystarczy tutaj jedynie zauważyć, że z drugiej równości wynika, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d, e}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), więc ich suma również, co daje sprzeczność, ponieważ \(\displaystyle{ 20}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

Zahion pisze:z drugiej równości wynika, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d, e}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)

Nie wynika, niektóre mogą być równe \(\displaystyle{ \pm 1}\).

Q.

Ale wszystkie są nieparzyste, a suma pięciu liczb nieparzystych nie może być parzysta, a więc nie może być równa \(\displaystyle{ 20}\), co chyba wystarcza, by pokazać, że ten układ nie ma rozwiązań całkowitych.

Qń pisze:

Zahion pisze:z drugiej równości wynika, że wszystkie liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d, e}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)

Nie wynika, niektóre mogą być równe \(\displaystyle{ \pm 1}\).

Q.

Rzeczywiście, ominąłem najtrudniejszą część

Asapi pisze:Ale wszystkie są nieparzyste, a suma pięciu liczb nieparzystych nie może być parzysta, a więc nie może być równa \(\displaystyle{ 20}\), co chyba wystarcza, by pokazać, że to sprzeczność.

\(\displaystyle{ 3 + \left( -3\right) = 0}\).
Aczkolwiek z tego co napisałeś można rozwiązanie pociągnąć do końca, wystarczy lekko opisać.

Zahion pisze: \(\displaystyle{ 3 + \left( -3\right) = 0}\).

Chodziło mi o to, że suma nieparzystej ilości liczb nieparzystych nie może być parzysta

W sumie zapis, że suma pięciu liczb nieparzystych jest nieparzysta również był poprawny. Wydaje się być OK