Znajdź drugie rozwiązanie.
: 25 mar 2015, o 19:41
Wiedząc, że funkcja \(\displaystyle{ y_{1}(t)=\exp(\frac{-t^2}{2})}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ y^{''} + ty^{'} + y = 0}\) znajdź drugie rozwiązanie.
Ja kombinuję tak: drugie rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ y_{2}(t)=z(t) \cdot y_{1}(t)}\).
Podstawiam do równania, różniczkuję i wychodzi mi po przekształceniach
\(\displaystyle{ z^{''}y_{1} + z{'} \cdot (2y_{1}^{'} + ty_{1})=0}\), a dalej podstawiając \(\displaystyle{ z^{'}=w}\) i różniczkując \(\displaystyle{ y_{1}}\), po czym dzieląc przez \(\displaystyle{ y_{1}}\) mamy \(\displaystyle{ w^{'}(t)=t \cdot w(t)}\), czyli
\(\displaystyle{ \log|w|=\frac{t^{2}}{2}}}\), więc \(\displaystyle{ w(t)=\exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C}\).
Wracając do \(\displaystyle{ z}\) mamy, że \(\displaystyle{ z(t)= \int \exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C dt}\), a więc
\(\displaystyle{ y_{2} = \exp(\frac{-t^2}{2}) \cdot \int \exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C dt}\)
Gdzieś chyba gubię minusa w funkcji wykładniczej pod całką, i jakoś w ogóle mi ten wynik nie pasuje. Czy ktoś byłby tak miły i sprawdził te rachunki?
Ja kombinuję tak: drugie rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ y_{2}(t)=z(t) \cdot y_{1}(t)}\).
Podstawiam do równania, różniczkuję i wychodzi mi po przekształceniach
\(\displaystyle{ z^{''}y_{1} + z{'} \cdot (2y_{1}^{'} + ty_{1})=0}\), a dalej podstawiając \(\displaystyle{ z^{'}=w}\) i różniczkując \(\displaystyle{ y_{1}}\), po czym dzieląc przez \(\displaystyle{ y_{1}}\) mamy \(\displaystyle{ w^{'}(t)=t \cdot w(t)}\), czyli
\(\displaystyle{ \log|w|=\frac{t^{2}}{2}}}\), więc \(\displaystyle{ w(t)=\exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C}\).
Wracając do \(\displaystyle{ z}\) mamy, że \(\displaystyle{ z(t)= \int \exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C dt}\), a więc
\(\displaystyle{ y_{2} = \exp(\frac{-t^2}{2}) \cdot \int \exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C dt}\)
Gdzieś chyba gubię minusa w funkcji wykładniczej pod całką, i jakoś w ogóle mi ten wynik nie pasuje. Czy ktoś byłby tak miły i sprawdził te rachunki?