Znajdź drugie rozwiązanie.

[sardom]

Wiedząc, że funkcja \(\displaystyle{ y_{1}(t)=\exp(\frac{-t^2}{2})}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ y^{''} + ty^{'} + y = 0}\) znajdź drugie rozwiązanie.

Ja kombinuję tak: drugie rozwiązanie jest postaci \(\displaystyle{ y_{2}(t)=z(t) \cdot y_{1}(t)}\).
Podstawiam do równania, różniczkuję i wychodzi mi po przekształceniach
\(\displaystyle{ z^{''}y_{1} + z{'} \cdot (2y_{1}^{'} + ty_{1})=0}\), a dalej podstawiając \(\displaystyle{ z^{'}=w}\) i różniczkując \(\displaystyle{ y_{1}}\), po czym dzieląc przez \(\displaystyle{ y_{1}}\) mamy \(\displaystyle{ w^{'}(t)=t \cdot w(t)}\), czyli

\(\displaystyle{ \log|w|=\frac{t^{2}}{2}}}\), więc \(\displaystyle{ w(t)=\exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C}\).
Wracając do \(\displaystyle{ z}\) mamy, że \(\displaystyle{ z(t)= \int \exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C dt}\), a więc
\(\displaystyle{ y_{2} = \exp(\frac{-t^2}{2}) \cdot \int \exp(\frac{t^{2}}{2}})\cdot C dt}\)

Gdzieś chyba gubię minusa w funkcji wykładniczej pod całką, i jakoś w ogóle mi ten wynik nie pasuje. Czy ktoś byłby tak miły i sprawdził te rachunki?

[Medea 2]

Ale w czym jest problem? Wolfram mówi, że rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ y(t) = c_1 \cdot \exp \left(\frac{-t^2}{2} \right) \textrm{erfi}\left( \frac{t}{\sqrt 2}\right) + c_2 \exp \left(\frac{-t^2}{2}\right)}\)

Przy tym mamy:

\(\displaystyle{ (\textrm{erfi } z)' = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \exp(z^2)}\)