Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\) uzasadnij.

Hmm... napisz, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } = x}\).

Podnieś do kwadratu, dwójkę przenieś na prawo i jeszcze raz podnieś do kwadratu, potem usuń niewymierność z ułamka, jaki Ci zostanie... czy jakoś tak...

Mógłbyś mi to dokończyć, bo trochę się polubiłam

No dooobra...

\(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna, bo:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }\right)^2 = x^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }+ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} + 1 = x^2}\)

Po usunięciu niewymierności z mianownika w tym głupim ułamku:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} + \sqrt{7} + 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} + 1 = x^2}\)

\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} + 1= x^2}\).

\(\displaystyle{ x = \pm \sqrt{ 4\sqrt{2} + 1 }}\).

Ta liczba jest niewymierna, ale wkradł ci się błąd, bo pierwiastki są czwartego stopnia...

No dooobra, to trzeba jeszcze raz do kwadratu, tylko przenieść tę dwójkę na drugą stronę najpierw...

To dokończysz

Nie chce mi się tego przepisywać...

Zrób tak: podnieś do kwadratu, dwójkę przenieś na drugą stronę, znów podnieś do kwadratu, dwójkę przenieś na drugą stronę, usuń niewymierność z mianownika i napisz, co Ci wyszło - powiem, czy dobrze

Nie da się jakoś ominąć rachunków? Na przykład twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych. Wielomian minimalny tej liczby to \(\displaystyle{ x^8-8x^6+20x^4-16x^2-28}\), trzeba więc pokazać, że nasza liczba zawiera się między \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\) (tak jest w rzeczywistości)... ktoś coś?

Niech \(\displaystyle{ t = \sqrt[4]{\sqrt 8 - \sqrt 7}}\), wtedy oczywiście \(\displaystyle{ t \neq 2}\) (bo \(\displaystyle{ t \neq 1}\)) i mamy nierówność

\(\displaystyle{ t + \frac 1 t \ge 2.}\)

A z góry...? Poddaję się

To nie są wcale takie uciążliwe rachunki

Można się też posłużyć takim lematem:
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\) jest wymierne, to \(\displaystyle{ a^k+\frac{1}{a^k}}\) też \(\displaystyle{ (k\in N)}\).
Dowód jest indukcyjny i korzysta z tego, że \(\displaystyle{ a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}=\left(a+\frac{1}{a} \right)\left(a^k+\frac{1}{k} \right)-\left(a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}\right)}\)

Teraz dowód nie wprost:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\) jest wymierne.
Wtedy na mocy lematu \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}+2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}\) też jest wymierne. Ale:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}+2 \sqrt{2}- \sqrt{7}=2 \sqrt{2}+ \sqrt{7}+2 \sqrt{2}- \sqrt{7}=4\sqrt{2}}\), a więc mamy sprzeczność z założeniem, co dowodzi, że ta liczba jest niewymierna

Teraz to już się naprawdę pogubiłam Zadanie z gminazjum, a takie trudne. W dodatku jeszcze nie zgodne z założeniem, jest jakiś prostszy sposób by pokazać, że chociaż zadanie jest fałszywe?

Zadanie z gimnazjum ? Większość maturzystów ( rozszerzenie ), by sobie z nim nie poradziło.
Nie wiem jakim sposobem, wiedzą na poziomie gimnazjum trzeba operować, żeby to rozwiązać. Rozwiążanie Michalinho, jest ładne i wykorzystuje dość popularne twierdzenie.

A ten sposób jutrvy, był prawidłowy? Bo wydawał się trochę prostszy, tym bardziej, że nie znam tego twierdzenia.

To zależy, jeżeli podnosząc to równanie stronami do czwartego stopnia wszystko Ci się skróci, to zostanie Ci dowód, że pewna liczba jest niewymierna. Z drugiej strony, jeśli będzie potrzebne kolejne potęgowanie, to będzie trzeba korzystać z wielomianów, których nie ma w gimnazjum.