czy liczba jest wymierna

[spoldzielca]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\) uzasadnij.

[jutrvy]

Hmm... napisz, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } = x}\).

Podnieś do kwadratu, dwójkę przenieś na prawo i jeszcze raz podnieś do kwadratu, potem usuń niewymierność z ułamka, jaki Ci zostanie... czy jakoś tak...

[spoldzielca]

Mógłbyś mi to dokończyć, bo trochę się polubiłam

[jutrvy]

No dooobra...

\(\displaystyle{ x}\) jest niewymierna, bo:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }\right)^2 = x^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }+ 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} + 1 = x^2}\)

Po usunięciu niewymierności z mianownika w tym głupim ułamku:

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} + \sqrt{7} + 2 \sqrt{2}- \sqrt{7} + 1 = x^2}\)

\(\displaystyle{ 4\sqrt{2} + 1= x^2}\).

\(\displaystyle{ x = \pm \sqrt{ 4\sqrt{2} + 1 }}\).

[Medea 2]

Ta liczba jest niewymierna, ale wkradł ci się błąd, bo pierwiastki są czwartego stopnia...

[jutrvy]

No dooobra, to trzeba jeszcze raz do kwadratu, tylko przenieść tę dwójkę na drugą stronę najpierw...

[spoldzielca]

To dokończysz

[jutrvy]

Nie chce mi się tego przepisywać...

Zrób tak: podnieś do kwadratu, dwójkę przenieś na drugą stronę, znów podnieś do kwadratu, dwójkę przenieś na drugą stronę, usuń niewymierność z mianownika i napisz, co Ci wyszło - powiem, czy dobrze

[Medea 2]

Nie da się jakoś ominąć rachunków? Na przykład twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych. Wielomian minimalny tej liczby to \(\displaystyle{ x^8-8x^6+20x^4-16x^2-28}\), trzeba więc pokazać, że nasza liczba zawiera się między \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\) (tak jest w rzeczywistości)... ktoś coś?

Niech \(\displaystyle{ t = \sqrt[4]{\sqrt 8 - \sqrt 7}}\), wtedy oczywiście \(\displaystyle{ t \neq 2}\) (bo \(\displaystyle{ t \neq 1}\)) i mamy nierówność

\(\displaystyle{ t + \frac 1 t \ge 2.}\)

A z góry...? Poddaję się

[jutrvy]

To nie są wcale takie uciążliwe rachunki

[Michalinho]

Można się też posłużyć takim lematem:
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\) jest wymierne, to \(\displaystyle{ a^k+\frac{1}{a^k}}\) też \(\displaystyle{ (k\in N)}\).
Dowód jest indukcyjny i korzysta z tego, że \(\displaystyle{ a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}=\left(a+\frac{1}{a} \right)\left(a^k+\frac{1}{k} \right)-\left(a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}\right)}\)

Teraz dowód nie wprost:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} } }+ \sqrt[4]{2 \sqrt{2}- \sqrt{7} }}\) jest wymierne.
Wtedy na mocy lematu \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}+2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}\) też jest wymierne. Ale:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{2}- \sqrt{7}}+2 \sqrt{2}- \sqrt{7}=2 \sqrt{2}+ \sqrt{7}+2 \sqrt{2}- \sqrt{7}=4\sqrt{2}}\), a więc mamy sprzeczność z założeniem, co dowodzi, że ta liczba jest niewymierna

[spoldzielca]

Teraz to już się naprawdę pogubiłam Zadanie z gminazjum, a takie trudne. W dodatku jeszcze nie zgodne z założeniem, jest jakiś prostszy sposób by pokazać, że chociaż zadanie jest fałszywe?

[Zahion]

Zadanie z gimnazjum ? Większość maturzystów ( rozszerzenie ), by sobie z nim nie poradziło.
Nie wiem jakim sposobem, wiedzą na poziomie gimnazjum trzeba operować, żeby to rozwiązać. Rozwiążanie Michalinho, jest ładne i wykorzystuje dość popularne twierdzenie.

[spoldzielca]

A ten sposób jutrvy, był prawidłowy? Bo wydawał się trochę prostszy, tym bardziej, że nie znam tego twierdzenia.

[Zahion]

To zależy, jeżeli podnosząc to równanie stronami do czwartego stopnia wszystko Ci się skróci, to zostanie Ci dowód, że pewna liczba jest niewymierna. Z drugiej strony, jeśli będzie potrzebne kolejne potęgowanie, to będzie trzeba korzystać z wielomianów, których nie ma w gimnazjum.