[Teoria liczb] Mix zadań.
: 26 lut 2015, o 22:48
1. Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ 31^{1995}|a^{2}+b^{2}}\), czy wynika stąd, że \(\displaystyle{ 31^{1996} |ab}\) ? Odpowiedz uzasadnij.
2. Rozwiąż w zbiorze liczb pierwszych równanie :
\(\displaystyle{ 1)p^{2}+q^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)
3. Czy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y,z}\), jeśli
a) \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{3}}\)
b)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{3}}\) i \(\displaystyle{ NWD\left( x,y,z\right)=1}\).
c)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{1998}}\)
d)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{n}}\)\(\displaystyle{ , n \in}\) N
4. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że :
a) Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}}\) jest naturalna. Wykaż, że liczba ta jest także kwadratem pewnej liczby całkowitej.
b) Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}}\) jest całkowita ujemna. Wyznacz możliwe wartości tej liczby.
c) dla pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ n = \frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}}\). Wyznacz możliwe wartości \(\displaystyle{ n}\).
5. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną. Wykaż, że :
a) Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d,e\right)}\) takich, że
\(\displaystyle{ n = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}{abcde+1}}\)
6. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ \left( 0^{2}+1^{2}\right)\left( 1^{2}+1\right)\left( 2^{2}+1\right) ...\left( \left( n-1\right) ^{2}+1\right)}\) ma dzielnik postaci \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in N}\) i \(\displaystyle{ a, b \neq 1}\)
7. Liczby \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2},a^{2}+c^{2},b^{2}+c^{2}}\) są kwadratami pewnych liczb całkowitych, przy czym \(\displaystyle{ a,b,c \in N}\). Wykaż, że\(\displaystyle{ 55|abc}\)
8. Niech liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) będą naturalne oraz dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k \in N}\) zachodzi \(\displaystyle{ k|x^{2}y+y^{2}z+xz^{2}-xyz}\) i \(\displaystyle{ k|xy^{2}+yz^{2}+x^{2}z-xyz}\). Czy \(\displaystyle{ k|\left( x^{2}+y^{2}\right)\left( y^{2}+z^{2}\right)\left( x^{2}+z^{2}\right)}\)? Odpowiedz uzasadnij.
9. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą postaci \(\displaystyle{ 4k+1,k \in N}\), mającą jeden rozkład na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych. Wyznacz maksymalną liczbę rozkładów na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych \(\displaystyle{ p^{4}}\)
10. Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ n >1}\) liczba \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n-1}}\) nie jest liczbą całkowitą.
11. Niech \(\displaystyle{ p _{k}}\) to \(\displaystyle{ k -}\) ta liczb pierwsza, udowodnij, że \(\displaystyle{ p _{k} < 2^{2^{k}}}\), \(\displaystyle{ k \ge 1}\)
Wszelkie błędy proszę zgłaszać w temacie.
2. Rozwiąż w zbiorze liczb pierwszych równanie :
\(\displaystyle{ 1)p^{2}+q^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)
3. Czy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x,y,z}\), jeśli
a) \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{3}}\)
b)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{3}}\) i \(\displaystyle{ NWD\left( x,y,z\right)=1}\).
c)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{1998}}\)
d)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z^{n}}\)\(\displaystyle{ , n \in}\) N
4. Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b}\) takie, że :
a) Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}}\) jest naturalna. Wykaż, że liczba ta jest także kwadratem pewnej liczby całkowitej.
b) Liczba \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}}\) jest całkowita ujemna. Wyznacz możliwe wartości tej liczby.
c) dla pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ n = \frac{a^{2}+b^{2}}{ab-1}}\). Wyznacz możliwe wartości \(\displaystyle{ n}\).
5. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną. Wykaż, że :
a) Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( a,b,c,d,e\right)}\) takich, że
\(\displaystyle{ n = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}{abcde+1}}\)
6. Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ \left( 0^{2}+1^{2}\right)\left( 1^{2}+1\right)\left( 2^{2}+1\right) ...\left( \left( n-1\right) ^{2}+1\right)}\) ma dzielnik postaci \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in N}\) i \(\displaystyle{ a, b \neq 1}\)
7. Liczby \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2},a^{2}+c^{2},b^{2}+c^{2}}\) są kwadratami pewnych liczb całkowitych, przy czym \(\displaystyle{ a,b,c \in N}\). Wykaż, że\(\displaystyle{ 55|abc}\)
8. Niech liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\) będą naturalne oraz dla pewnej liczby \(\displaystyle{ k \in N}\) zachodzi \(\displaystyle{ k|x^{2}y+y^{2}z+xz^{2}-xyz}\) i \(\displaystyle{ k|xy^{2}+yz^{2}+x^{2}z-xyz}\). Czy \(\displaystyle{ k|\left( x^{2}+y^{2}\right)\left( y^{2}+z^{2}\right)\left( x^{2}+z^{2}\right)}\)? Odpowiedz uzasadnij.
9. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą postaci \(\displaystyle{ 4k+1,k \in N}\), mającą jeden rozkład na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych. Wyznacz maksymalną liczbę rozkładów na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych \(\displaystyle{ p^{4}}\)
10. Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ n >1}\) liczba \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2n-1}}\) nie jest liczbą całkowitą.
11. Niech \(\displaystyle{ p _{k}}\) to \(\displaystyle{ k -}\) ta liczb pierwsza, udowodnij, że \(\displaystyle{ p _{k} < 2^{2^{k}}}\), \(\displaystyle{ k \ge 1}\)
Wszelkie błędy proszę zgłaszać w temacie.