Matematyka.pl

Witam,

Jak dowieść że \(\displaystyle{ \ZZ[{}i]/(1+i) \approx \ZZ_{2}}\) (Pierscien ilorazowy izomorficzny z ciałem \(\displaystyle{ \ZZ_2}\))

Gdzie \(\displaystyle{ \ZZ[{}i]}\) to pierscien Gaussa, \(\displaystyle{ (1+i)}\) to ideał generowany w tym pierscieniu przez \(\displaystyle{ 1+i}\), a \(\displaystyle{ \approx}\) oznacza izomorfizm.

Proszę o rozwiązanie, ewentualnie wskazowki

Zasadnicze twierdzenie o homomorfizmach będzie przydatne. Potrafisz wskazać taki, którego jądrem jest ideał \(\displaystyle{ (1+i)}\)?

Albo zauważyć, że \(\displaystyle{ a+bi \in (1+i) \Leftrightarrow a-b \in 2\mathbb{Z}}\). Ale to dopiero wskazówka.

Nie mam pojecia co do homomorfizmu. Nie mogę go wyznaczyć.

@ Tomasz Tkaczyk
wygląda interesująco, co dalej?

A zakładając prawdziwość wskazówki umiałbyś pokazać, że pierścień ilorazowy składa się tylko z dwóch klas abstrakcji?

Nie mam pojęcia.
Bardziej interesuje mnie czy istnieje taki homomorfizm o szukanym jądrze.

Chociaż mozesz pomóc

A czy funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{Z}[{}i] \rightarrow \mathbb{Z}_{2}}\) zadana wzorem \(\displaystyle{ f(a+bi) = a-b (\bmod 2)}\) jest homomorfizmem?

No dobra rzeczywiście , a w przypadku, gdyby zastąpić \(\displaystyle{ 1+i}\) , \(\displaystyle{ 4+i}\) i \(\displaystyle{ Z_{2}}\), \(\displaystyle{ Z_{17}}\)?

Widać gołym okiem, że ten pierścień ilorazowy ma tylko dwa elementy(klasy):

\(\displaystyle{ 0+[1+i],1+[1+i]}\), bo każda parzysta to klasa zera a każda nieparzysta klasa jedynki, bo:

\(\displaystyle{ 2=(1+i)(1-i)}\)

I po dowodzie.

Zawsze na początku w tego typu zadaniach nie szuka się izomorfizmów czy homomorfizmów tylko bada się strukturę pierścienia, grupy lub ciała (jak on wygląda).

podbijam

Co podbijasz/

odpowiedziałes do głownego pytania a pózniej zadałem pytanie przy zamianie Zbioru

No napisałeś \(\displaystyle{ \ZZ_{17}}\)
ale co mam z tym zrobić
No w końcu rozszyfrowałem o co ci chodzi:


\(\displaystyle{ 17=(4+i)(4-i)=0}\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ[{}i]_{|(4+i)}}\)

łatwo zauważyć, że ma on 17 elementów, \(\displaystyle{ 4+i}\) nierozkładalny