Strona 1 z 1
granica związana z ciągiem 1/n
: 8 lut 2015, o 11:33
autor: wielkireturner
Dobry dzionek. Proszę o wsparcie w zadaniu:
Obliczyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \right)}\)
granica związana z ciągiem 1/n
: 8 lut 2015, o 11:44
autor: bartek118
Rozpatrz funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) na odcinku \(\displaystyle{ [1,2]}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \ldots \frac{1}{1 + \frac{n}{n}} \right) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f \left(1 + \frac{k}{n} \right)}\)
Stąd już widać granicę.
granica związana z ciągiem 1/n
: 8 lut 2015, o 13:30
autor: wielkireturner
Próbuję zrozumieć, ale średnio mi to wychodzi. Dlaczego \(\displaystyle{ \left[ 1,2 \right]}\) , a nie np. \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\) ?
granica związana z ciągiem 1/n
: 8 lut 2015, o 16:02
autor: bartek118
Ponieważ mamy \(\displaystyle{ f \left( 1 + \frac{k}{n} \right)}\), a punkty \(\displaystyle{ 1 + \frac{k}{n}}\) dzielą odcinek \(\displaystyle{ [1,2]}\) na \(\displaystyle{ n}\) równy części długości \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Zatem mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f \left(1 + \frac{k}{n} \right) \to \int_1^2 f(x) \mathrm{d}x = \int_1^2 \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)}\)
granica związana z ciągiem 1/n
: 14 sie 2015, o 15:34
autor: mol_ksiazkowy
już widać granicę.
Czy istnieje inny (elementarny) sposób...?
granica związana z ciągiem 1/n
: 14 sie 2015, o 16:13
autor: Marcinek665
Istnieje.
Poprzekształcać prawdziwą nierówność
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln(1+x) \le x}\)
Najpierw podstawiając \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\), potem przekształcić tak, zeby otrzymać \(\displaystyle{ (...)-(...) > \frac{1}{n} > (...) - (...)}\) i wysumowac stronami.
granica związana z ciągiem 1/n
: 15 sie 2015, o 13:18
autor: czekoladowy
Alternatywnie możemy skorzystać z tego, że:
\(\displaystyle{ \gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)}\)
granica związana z ciągiem 1/n
: 15 sie 2015, o 14:55
autor: PiotrowskiW
Ciągi
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n+1} \right)_{n \in N},\left( \frac{1}{n+2} \right)_{n \in N},\dots, \left( \frac{1}{2n} \right)_{n \in N}}\) są ciągami zbieżnymi do zera. Zatem na mocy twierdzenia o granicy sumy...
granica sumy to suma granic.
Co Wam się w tym nie podoba?
granica związana z ciągiem 1/n
: 15 sie 2015, o 14:57
autor: Nakahed90
Twierdzenia prawdziwe tylko dla sum skończonych.
granica związana z ciągiem 1/n
: 24 sie 2015, o 16:57
autor: mol_ksiazkowy
granica związana z ciągiem 1/n
: 28 lis 2015, o 18:21
autor: mol_ksiazkowy
tj.:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} =\ln(2)}\)
Re: granica związana z ciągiem 1/n
: 30 sie 2024, o 00:44
autor: mol_ksiazkowy
\(\displaystyle{ \ln(k)}\) gdy
\(\displaystyle{ (k-1)n }\) skłądników sumy;
Dodano po 8 dniach 14 godzinach 5 minutach 18 sekundach:
Ten ciąg to
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{1}- \frac{1}{2}\right)+ ...+ \left( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n}\right).}\)
Re: granica związana z ciągiem 1/n
: 10 sty 2026, o 14:06
autor: mol_ksiazkowy
lub jako \(\displaystyle{ H_{2n} - H_n }\) gdy \(\displaystyle{ \lim (H_n -\ln(n)) = \gamma}\).
Re: granica związana z ciągiem 1/n
: 17 sty 2026, o 08:47
autor: mol_ksiazkowy
intuicje \(\displaystyle{ H_{2n}- H_n > \frac{n}{n+ \frac{n}{2} } }\) i \(\displaystyle{ \int_{1}^{n} \frac{dx}{x} = \ln(n) }\).
Re: granica związana z ciągiem 1/n
: 18 sty 2026, o 14:59
autor: a4karo
Dla dowolnego `m>1` mamy
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}<e<\left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m}}\), zatem
\(\displaystyle{ \frac{m+1}{m}<e^{\frac{1}{m}}<\frac{m}{m-1}}\)
W tej nierówności podstawiamy
\(\displaystyle{ m=n+1, n+2,...,2n}\), wymnażamy nierówności (prawe i lewe strony się pięknie teleskopują) i dostajemy
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{n+1}<\exp\left(\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n}\right)<2}\)
Pozostaje tylko zlogarytmować.