Matematyka.pl

Mam do sprawdzenia takie zadanie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^ \infty \left( \frac{n}{n+1} \right)^ \frac{n^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+1-1}{n+1} \right) ^ \frac{n^2}{2}=\left[ \left( 1+ \frac{-1}{n+1} \right)^{n+1} \right] ^\frac{n^2}{2(n+1)}}\)
Z wykładnika wyszła lim=1. Podstawiłem do \(\displaystyle{ e}\) i wyszło
\(\displaystyle{ e^{-1}}\)
Więc szereg jest zbieżny.
Poprawnie rozwiązałem?

Nie do końca, bo to jest nieprawdą:

Demolax66 pisze:Z wykładnika wyszła lim=1

,
chyba że Tobie chodzi o granicę wykładnika po zastosowaniu kryterium Cauchy'ego (wtedy jest OK, ale takie rzeczy trzeba pisać).
W każdym razie istotnie szereg jest zbieżny.

Dlaczego z kryterium Cauchy'ego? Wyrażenie nie jest podniesione do n-tej potęgi.
Robiłem wcześniej tak że wyciągnąłem przed nawias. Ale tam zrobiłem błąd bo źle ułamek przeczytałem wydawało mi się że jest do 2-giej potęgi. A teraz jak wyciągam poprawnie to wychodzi nieskończoność więc coś jest nie tak.

Może opisz formalnie kroki jakie podejmujesz?

Dojście do postaci z e do potęgi jest chyba jasne.Teraz zostaje policzenie granicy wykładnika \(\displaystyle{ \frac{n^2}{2n+2}}\), żeby zobaczyć do której potęgi jest e.

To co liczysz to tylko warunek konieczny zbieżności szeregu.