Matematyka.pl

1) \(\displaystyle{ \int \frac{x^{6}-2x^{4}+3x^{3}-9x^{2}+4}{x^{5}-5x^{3}+4x}dx}\)

2)\(\displaystyle{ \int \frac{x^{5}dx}{(x-1)^{2}(x^{2}-1)}}\)

3)\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(x+1)^{2}(x^{2}+1)}}\)

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu całek

W pierwszej i drugiej podziel najpierw licznik przez mianownik

W trzeciej rozłóż na sumę ułamków prostych


Obejrzyj sobie też ten temat

79919.htm

O rozkładzie na sumę ułamków prostych trochę jest tutaj
237781.htm
ale uważam że powinieneś sobie o tym poczytać poza forum
Masz książkę Fichtenholza albo Leji

Co do pierwszej całki, dzielę wielomiany, następnie otrzymuję:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{6}-2x^{4}+3x^{3}-9x^{2}+4}{x^{5}-5x^{3}+4x}dx = \int \frac{x(x^{5}-5x_{3}+4x)+3x^{4}+3x^{3}-13x^{2}+4}{x^{5}-5x_{3}+4x}dx = \int xdx + \int \frac{3x^{4}+3x^{3}-13x^{2}+4}{x^{5}-5x_{3}+4x}dx}\)

Nie mam pojęcia jak się zabrać za drugą część tej całki.

Rozłóż mianownik na czynniki i zaproponuj rozkład na sumę ułamków prostych

Ułamki proste to ułamki postaci

\(\displaystyle{ \frac{A}{\left( x-a\right)^{n} }}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{Bx+C}{\left( x^2+px+q\right)^{n} }}\)

Ponieważ całkujesz funkcję wymierną więc licznik takiego ułamka jest o stopień niższy niż stopień mianownika

np

\(\displaystyle{ \frac{A_{n-1}x^{n-1}+A_{n-2}x^{n-2}+\hdots+A_{0}}{\left( x-a\right)^{n} }}\)

ale ten ułamek możesz przedstawić jako

\(\displaystyle{ \frac{A_{n-1}\left( x-a\right)^{n-1}+A_{n-2}\left( x-a\right)^{n-2}+\hdots+A_{0} }{\left( x-a\right)^{n} }}\)

W przypadku drugiego ułamka analogicznie

\(\displaystyle{ \frac{B_{2n-1}x^{2n-1}+B_{2n-2}x^{2n-2}+\hdots+B_{0}}{\left( x^{2}+px+q\right)^{n} }}\)

ale ten ułamek możesz przedstawić jako

\(\displaystyle{ \frac{\left(B_{n-1}x+C_{n-1} \right)\left(x^2+px+q \right)^{n-1}+\left(B_{n-2}x+C_{n-2} \right)\left(x^2+px+q \right)^{n-2}+\hdots+\left( B_{0}x+C_{0}\right) }{\left( x^2+px+q\right)^{n} }}\)