Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} a_{n}}\) bedzie dowolnym szeregiem zbieznym o wyrazach dodatnich.Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \frac{\sqrt{a_{n} }}{\ln(n)} \cdot \left( n^{ a_{n}}-1\right) }}\) jest zbiezny?
Jezeli \(\displaystyle{ a_{n}}\) zbiega do zera szybciej niz \(\displaystyle{ \ln(n)}\) to iloraz wyrazu z nowego szeregu przez \(\displaystyle{ a_{n}}\) zbiega do zera, z czego mozna wywnioskowac, ze wyrazy nowego szeregu zbiegaja szybciej do zera niz wyrazy starego,a wiec szereg jest zbiezny, ale nie wiem ja uzasadnic to ze \(\displaystyle{ a_{n}}\) zbiega do zera szyciej niz logarytm.Bardzo prosze o pomoc

EDIT: W nawiasie to to \(\displaystyle{ -1}\) nie powinno chyba być w wykładniku tylko luzem jeśli tak to wtedy:

Jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest malejący to teza jest prawdziwa. Zachodzi wszak:
\(\displaystyle{ na_{n} \rightarrow 0}\) skąd łatwo teza. W ogólności powyższe nie jest prawdą. Musisz pobawić się takimi "skaczącymi" ciągami \(\displaystyle{ a_{n}}\).

Przykładowy kontrprzykład: